Tema1: Elementele și cardinalul unei mulțimi

Problema 1. Fie mulțimea $A=\{3,~ 9,~ 15,~ \cdots,~2013\}$ .
a) Arătați că $597 \in A$ și $727 \not \in A$ .
b) Calculați suma elementelor din mulțimea $A$ .
c) Arătați că, oricare ar fi $n$ număr natural nenul, suma primelor $n$ elemente din $A$ , luate în ordine crescătoare, nu este pătrat perfect.

Olimpiadă, etapa locală, Vâlcea, 2020, E.135

Indicații: Elementele mulțimii $A$ sunt de forma $6k+3,~ k \in \{0,1,2,...,335\}.$

Răspuns: $S =338688$ . Suma este de forma $3n^2$ , care nu este pătrat perfect.

Problema 2. Se consideră mulțimea $A=\{3n+1 ~|~ n \in \N,~ 0<n \leq 169\}$ . Arătați că:
a) mulțimea $A$ conține cel puțin $3$ numere prime, cel puțin două pătrate perfecte și cel puțin un cub perfect.
b) nu se pot alege patru numere diferite din mulțimea $A$ astfel încât suma lor să fie egală cu $2012$ .

Olimpiadă, etapa locală, Caraș-Severin, 2013, E.138

RMCS nr. 40

Indicația 1: a) Nr. prime și pătratele perfecte se găsesc prin încercări pe primele $6$ valori ale lui $n$ .
Pentru cuburi perfecte, verificăm pe rând $2^3$ , $3^3$ etc și constatăm că $4^3$ este primul care este de forma $3k+1$ .

Indicația 2: b) Se calculează suma pentru $4$ numere oarecare $n_1=3a+1$ , $n_2=3b+1$ , $n_3=3c+1$ și $n_4=3d+1$ .

Indicația 3: Se ajunge la $3(a+b+c+d)=2008$ (fals).

Răspuns: Numere prime: $7$ , $13$ , $19$ ;
Pătrate perfecte: $4$ , $16$ ;
Cub perfect: 64.

Problema 3. Aflați numărul elementelor mulțimilor $A$ și $B$ , dacă $A=\{x\in \N \mid 6 < x \leq 2020\}$ și $B=\{x\in \N \mid 2^{2015}<x\leq 2^{2020} \}$ .

Olimpiadă, etapa locală, Botoșani, 2020, E.125

Răspuns: $Card~A=2014$ , $\quad Card~B=31 \cdot 2^{2015}$

Problema 4. Determinați cardinalul mulțimii $A=\bigg\{ \overline{ab} ~ \bigg | ~ \dfrac{16}{a^2+b} \in \N \bigg\}$ .

Olimpiadă, etapa locală, Satu Mare, 2020, E.127

Indicații: $\dfrac{16}{a^2+b} \in \N \Rightarrow a^2+b \in \{1, 2, 4, 8, 16\}$ .

Răspuns: $card(A)=8$ .

Problema 5. Să se determine cardinalul mulțimii $A=\{(a,~b) ~|~ \overline{ab} + \overline{ba}$ este pătrat perfect $\}$ .

Olimpiadă, etapa locală, Argeș, 2012, E.136

Indicația 1: $\overline{ab} = a \cdot 10 + b$

Indicația 2: $a+b$ trebuie să fie multiplu de $11$ .

Răspuns: $Card~A=8$ .

Problema 6. Fie $A=\{n \in \N ~\big|~ 2^{36} < n < 3^{24} \}$ și $B=\{n \in \N ~\big |~ 2^{48} < n < 3^{32} \}$ . Care din mulțimile $A$ și $B$ au cardinalul mai mare?

Olimpiadă, etapa locală, Dolj, 2020, E.128

Indicația 1: Arătăm că $3^{32}-2^{48} > 3^{24} - 2^{36}$ .

Indicația 2: Echivalent cu $3^{24}(3^8-1) > 2^{36}(2^{12}-1)$ .

Indicația 3: Comparăm membru cu membru: $3^{24} > 2^{36}$ și $3^8 > 2^{12}$ .

Răspuns: $card(B) > card(A)$ .

Elementele și cardinalul unei mulțimi

Tema 1