Înălţimea piramidei. Înălțimea conului

Temă individuală

Lucian Maran, matemaraton.ro, 21-01-2024

Problema 1. Se consideră tetraedrul ABCDABCD, în care AB⊥AC⊥AD.AB \perp AC \perp AD. Dacă AB=AC=3AB=AC=3 cm și AD=4AD=4 cm, calculați distanța de la AA la planul (BCD).(BCD).

Art, 17/148, ** (adaptare), E.182
Soluție:


Metoda 1. Fie EE mijlocul lui BCBC și F∈DE{F} \in DE astfel încât AF⊥DE\boxed{AF \perp DE} (1).
Cum △ABC\triangle ABC este isoscel ⇒BC⊥AE.\Rightarrow \boxed{BC \perp AE}.
Din DA⊥ABDA \perp AB și DA⊥AC⇒DA⊥(ABC)⇒DA⊥BC,DA \perp AC \Rightarrow DA \perp (ABC) \Rightarrow DA \perp BC, sau BC⊥DA.\boxed{BC \perp DA}.
Din ultimele două relații rezultă BC⊥(DAE)⇒BC⊥AF,BC \perp (DAE) \Rightarrow BC \perp AF, sau AF⊥BC\boxed{AF \perp BC} (2).
Din (1) și (2) ⇒AF⊥(DBC),\Rightarrow AF \perp (DBC), deci AFAF este distanța căutată.

În △BAC (∡A=90°), BC=32,\triangle BAC~(\measuredangle A = 90\degree),~ BC=3\sqrt{2}, deci AE=AB⋅ACBC,AE=\dfrac{AB \cdot AC}{BC}, adică AE=32.\boxed{AE=\dfrac{3}{\sqrt{2}}}.
În △DAE (∡A=90°), DE2=AD2+AE2=16+92,\triangle DAE~(\measuredangle A = 90\degree),~DE^2=AD^2 + AE^2 = 16+\dfrac{9}{2}, deci DE=412.\boxed{DE=\dfrac{\sqrt{41}}{\sqrt{2}}}.
În △DAE (∡A=90°), AF=AE⋅ADDE,\triangle DAE~(\measuredangle A = 90\degree),~AF=\dfrac{AE \cdot AD}{DE}, deci AE=124141.\boxed{AE=\dfrac{12\sqrt{41}}{41}}.

Metoda 2. Notăm cu dd distanța cerută și scriem volumul piramidei în două moduri:
VDABC=DA⋅SABC3=d⋅SDBC3⇒d=DA⋅SABCSDBC.V_{DABC} = \dfrac{DA \cdot S_{ABC}}{3} = \dfrac{d \cdot S_{DBC}}{3} \Rightarrow \boxed{d=\dfrac{DA \cdot S_{ABC}}{S_{DBC}}}.

SABC=AB⋅AC2=92S_{ABC}=\dfrac{AB \cdot AC}{2} = \dfrac{9}{2} și SDBC=DE⋅BC2=3412.S_{DBC}=\dfrac{DE \cdot BC}{2} = \dfrac{3\sqrt{41}}{2}.
Înlocuind în formula de mai sus obținem AE=124141.\boxed{AE=\dfrac{12\sqrt{41}}{41}}.

Problema 2. În tetraedrul regulat ABCDABCD de muchie 1212 cm se iau punctele M∈ABM \in AB, N∈ACN \in AC și P∈ADP \in AD, astfel încât BM=CN=DP=2BM=CN=DP=2 cm. Calculați distanța de la AA la planul (MNP).

Mate2000, 14/146, ****, E.183
Soluție:

ABMB=ACNC⟹R.ThalesMN∥BC⇒MN∥(BCD).\dfrac{AB}{MB}=\dfrac{AC}{NC} \overset{R.Thales}{\Longrightarrow} MN \parallel BC \Rightarrow MN \parallel (BCD).
Analog, PM∥(BCD),PM \parallel (BCD), deci (MNP)∥(BCD).\boxed{(MNP) \parallel (BCD)}.

Prin urmare, AA, QQ, OO sunt coliniare și MQ∥BO\boxed{MQ \parallel BO}, unde OO și QQ sunt centrele celor două baze.

În △BCD, BO=23⋅1232,\triangle BCD,~ BO=\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{12\sqrt{3}}{2}, deci BO=43.\boxed{BO=4\sqrt{3}}.
În △ABO,AO2=AB2−BO2=(3⋅4)2−3⋅42,\triangle ABO, AO^2=AB^2-BO^2 = (3 \cdot 4)^2 - 3 \cdot 4^2, deci AO=46.\boxed{AO=4\sqrt{6}}.
MQ∥BO⟹ThalesAQAO=AMAB⇒AQ=AO⋅AMAB=46⋅1012,MQ \parallel BO \overset{Thales}{\Longrightarrow} \dfrac{AQ}{AO} = \dfrac{AM}{AB} \Rightarrow AQ= \dfrac{AO \cdot AM}{AB} = \dfrac{4\sqrt{6} \cdot 10}{12}, deci AQ=1063.\boxed{AQ = \dfrac{10\sqrt{6}}{3}}.

Problema 3. Un con circular drept de vârf VV are generatoarele VAVA, VBVB și VCVC perpendiculare două câte două. Dacă VA=8VA=8 cm, determinați înălțimea conului.

Art, 14/147, **, E.184
Soluție:

Triunghiurile VABVAB, VBCVBC și VCAVCA sunt congruente (cazul C.C.), rezultă AB=BC=CA=82AB = BC = CA = 8\sqrt{2}, rezultă △ABC - echilateral.\boxed{\triangle ABC \text{ - echilateral}}.
Conul fiind drept, înălțimea VOVO cade în centrul bazei, deci AO=23⋅AB32,AO = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{AB \sqrt{3}}{2}, adică AO=863.\boxed{AO=\dfrac{8\sqrt{6}}{3}}.

În △VOA, VO2=VA2−AO2=82−82⋅69,\triangle VOA,~VO^2=VA^2-AO^2 = 8^2-\dfrac{8^2 \cdot 6}{9}, adică VO=833.\boxed{VO=\dfrac{8\sqrt{3}}{3}}.

Problema 4. Fie punctele AA și BB pe cercul bazei unui con circular drept cu vârful în VV. Dacă MM este mijlocul unuia dintre arcele determinate de punctele AA și BB pe cercul C\cal{C}(O,R)(O,R) al bazei conului, arătați că AB⊥(VOM).AB \perp (VOM).

Art, 16/148, **, E.185
Soluție:


Fie AB∩OM={N}.AB \cap OM = \{N\}.
AM⏠=BM⏠⇒∡AON=∡BON⇒△AON≡△BON\overgroup{AM}=\overgroup{BM} \Rightarrow \measuredangle AON = \measuredangle BON \Rightarrow \triangle AON \equiv \triangle BON (L.U.L.) ⇒AN=BN\Rightarrow \boxed{AN = BN} și ∡ONA=∡ONB\measuredangle ONA = \measuredangle ONB, adică AB⊥OM (1).\boxed{AB \perp OM}~(1).
În △VAB\triangle VAB isoscel, mediana este și înălțime, deci AB⊥VN (2).\boxed{AB \perp VN}~(2).
Cum OMOM și VNVN determină planul VOM)⟹(1), ((2)AB⊥(VOM).VOM) \overset{(1),~((2)}{\Longrightarrow} \boxed{AB \perp (VOM)}.