Tema4-cls8: Înălţimea piramidei. Înălțimea conului

Problema 1. Se consideră tetraedrul $ABCD$ , în care $AB \perp AC \perp AD.$ Dacă $AB=AC=3$ cm și $AD=4$ cm, calculați distanța de la $A$ la planul $(BCD).$

Art, 17/148, ** (adaptare), E.182

Indicația 1: Dacă $E$ este mijlocul lui $BC$ și ${F} \in DE$ astfel încât $AF \perp DE,$ atunci $AF$ este distanța cerută.

Indicația 2: Pe $AF$ îl putem calcula în două moduri: sau ca înălțime în triunghiul dreptunghic $DAE,$ sau cu volumul tetraedrului scris în două moduri.

Răspuns: $d=\dfrac{12\sqrt{41}}{41}.$

Problema 2. În tetraedrul regulat $ABCD$ de muchie $12$ cm se iau punctele $M \in AB$ , $N \in AC$ și $P \in AD$ , astfel încât $BM=CN=DP=2$ cm. Calculați distanța de la $A$ la planul (MNP).

Mate2000, 14/146, ****, E.183

Indicații: Folosind teorema lui Thales se arată că $MN \parallel BC$ și analoagele, deci $(MNP) \parallel (BCD).$ Așadar, $A$ , $Q$ , $O$ sunt coliniare și $MQ \parallel BO$ , unde $O$ și $Q$ sunt centrele celor două baze.

Răspuns: $d=\dfrac{10\sqrt{6}}{3}.$

Problema 3. Un con circular drept de vârf $V$ are generatoarele $VA$ , $VB$ și $VC$ perpendiculare două câte două. Dacă $VA=8$ cm, determinați înălțimea conului.

Art, 14/147, **, E.184

Indicații: Triunghiurile $VAB$ , $VBC$ și $VCA$ sunt congruente, rezultă $AB = BC = CA = 8\sqrt{2}$ , rezultă $\Rightarrow \triangle ABC \text{ - echilateral}.$

Răspuns: $h=\dfrac{8\sqrt{3}}{3}.$

Problema 4. Fie punctele $A$ și $B$ pe cercul bazei unui con circular drept cu vârful în $V$ . Dacă $M$ este mijlocul unuia dintre arcele determinate de punctele $A$ și $B$ pe cercul $\cal{C}$ $(O,R)$ al bazei conului, arătați că $AB \perp (VOM).$

Art, 16/148, **, E.185

Indicația 1: Fie $AB \cap OM = \{N\}.$ Se arată că $\triangle AON \equiv \triangle BON$

Indicația 2: Se arată că $AB \perp OM$ și $AB \perp VN$ , deci este perpendicular și pe planul care le conține.

Înălţimea piramidei. Înălțimea conului

Temă individuală