a) Fie $M$ mijlocul lui $BC$ și $O$ centrul bazei.
În $\triangle CAB$, $OM$ este linie mijlocie, deci $\boxed{OM=9}.$
Două figuri sunt echivalente daca au aceeași arie: $\dfrac{VM \cdot BC}{2} = BC^2 \Rightarrow \boxed{VM=36}.$
În $\triangle VOM$, $VO^2=VM^2-OM^2 = (9\cdot 4)^2-9^2 \Rightarrow \boxed{VO=9\sqrt{15}}.$

b) Contruim $OE \perp VM.$
Din $VO \perp (ABC) \Rightarrow \boxed{VO \perp BC}.$
Din $BC \perp VO$ și $BC \perp OM \Rightarrow BC \perp (VOM) \Rightarrow \boxed{BC \perp OE}.$
Din $OE \perp VM$ și $OE \perp BC \Rightarrow OE \perp (VBC)$, deci $OE$ este distanța căutată.

În $\triangle VOM$, $OE=\dfrac{OV \cdot OM}{VM}=\dfrac{9\sqrt{15} \cdot 9}{36} \Rightarrow \boxed{OE=\dfrac{9\sqrt{15}}{4}}.$

Observații:
1: Faptul că $OE \perp (VBC)$ se putea arăta mai simplu cu "T3P";
2: Distanța OE se putea calcula mai simplu scriind volumul lui $VOBC$ în două moduri.

Lungime cercului de la baza conului este egală cu lungimea semicercului $\overgroup{AB}$ obținut după desfășurare:
$2 \pi r=\dfrac{2\pi G}{2} \Rightarrow G=2r$, deci $\boxed{G=12 \text{ cm}}.$
În $\triangle VOB,~ VO^2 = G^2-r^2 = (2\cdot 6)^2 - 6^2$, deci $\boxed{VO=6\sqrt{3}}.$

Într-un romb, diagonalele sunt perpendiculare și se înjumatățesc.
$OB=\dfrac{BD}{2}=4$, $OC=\dfrac{AC}{2}=4\sqrt{3}.$
În $\triangle COB$, $BC^2=OB^2+OC^2=4^2+(4\sqrt{3})^2$, deci $\boxed{BC=8}.$
În $\triangle CAB$, $OM$ este linie mijlocie, deci $\boxed{OM=4}.$
În $\triangle EOM$, $OE=3$ ($3$, $4$, $5$ - triplet pitagoreic) $\Rightarrow \boxed{OO'=2\cdot OE = 6 \text{ cm}}.$

a) $A'A \perp \cal C$$(O, R) \Rightarrow A'A \perp AC.$
În ©

b) În $\triangle A'AC$, $AC^2=A'C^2-A'A^2= (4 \cdot 7)^2-(2 \cdot 7)^2$, deci $\boxed{AC=14\sqrt{3}}.$
$\measuredangle ACB = \dfrac{\overgroup{AB}}{2}=90\degree$. Cum $\measuredangle ABC = 45\degree \Rightarrow \triangle ABC$ este dreptunghic isoscel.
Deci $AB=AC\sqrt2 = 14\sqrt{6} \Rightarrow \boxed{r=OA = 7\sqrt{6}}.$
$\boxed{S_{\cal C(O, R)} = \pi r^2 = 294\pi}.$