Tema3-cls8: Înălțimea în piramidă, con, prismă, cilindru

Problema 1. Piramida patrulateră regulată $VABCD$ , cu $AB=18$ cm, are fața $VBC$ echivalentă cu baza $ABCD$ .
a) calculați înălțimea piramidei;
b) calculați distanța de la $O$ la planul $(VBC)$ , unde $\{O\}=AC \cap BD$ .

Mate2000, 10/146, ***, E.171

Indicația 1: a) Două figuri sunt echivalente daca au aceeași arie. $OM$ este linie mijlocie în $\triangle CAB$ , deci $OM=9.$

Indicația 2: b) Se arată că distanța cerută este $OE$ , unde $E$ este perpendiculara din $O$ pe $VM.$

Răspuns: a) $h=9\sqrt{15}$ ; b) $d=\dfrac{9\sqrt{15}}{4}.$

Problema 2. Fie un con circular drept a cărui desfășurare a suprafeței laterale este o jumătate dintr-un disc. Dacă raza bazei conului este $6$ cm, aflați înălțimea acestuia.

Art, 13/147, **, E.170

Indicația 1: Lungime cercului de la baza conului este egală cu lungimea semicercului $\overgroup{AB}$ obținut după desfășurare.

Indicația 2: $2 \pi r=\dfrac{2\pi G}{2} \Rightarrow G=12 \text{ cm}.$

Răspuns: $h=6\sqrt{3}.$

Problema 3. Dacă $ABCDA'B'C'D'$ este o prismă dreaptă ale cărei baze sunt romburi, cu $AC=8\sqrt{3}$ cm, $BD=8$ cm, iar $E$ este mijlocul segmentului $OO'$ ( $O$ și $O'$ sunt punctele de intersecție ale diagonalelor bazelor), $M$ este mijlocul segmentului $BC$ și $ME=5$ cm, calculați înălțimea prismei.

Mate2000, 8/150, **, E.172

Indicația 1: Într-un romb, diagonalele sunt perpendiculare și se înjumatățesc, deci $OB=4$ , $OC=4\sqrt{3}$ , $BC=8.$

Indicația 2: În $\triangle CAB$ , $OM$ este linie mijlocie, deci $OM=4.$

Răspuns: $h=6$ cm.

Problema 4. Fie cilindrul circular drept cu bazele $\cal C$ $(O, R)$ și $\cal C$ $(O', R).$ Fie $AA'$ și $BB'$ două generatoare ale sale astfel încât $AB$ să fie un diametru al $\cal C$ $(O, R).$ Alegem punctul $C$ pe $\cal C$ $(O, R)$ , astfel încât $\measuredangle{ABC}=45\degree$ . Dacă $\measuredangle{ACA'}=30\degree$ și $A'C=28$ cm, calculați:
a) înălțimea cilindrului;
b) aria unei baze a cilindrului.

Art, 14/150, **, E.173

Indicația 1: a) $A'A \perp \cal C$ $(O, R) \Rightarrow A'A \perp AC.$ Din $\triangle A'AC \Rightarrow A'A=14 \text{ cm}.$

Indicația 2: b) $\measuredangle ACB = \dfrac{\overgroup{AB}}{2}=90\degree \Rightarrow \triangle ABC$ este dreptunghic isoscel, deci $AB=AC\sqrt2 = 14\sqrt{6}.$

Răspuns: a) $h=14$ cm; b) $S=294\pi$ cm $^2$ .

Înălțimea în piramidă, con, prismă, cilindru

Temă individuală