Criterii de divizibilitate

Criterii de divizibilitate

Nivel introductiv

E.715. Julien a găsit în sertarul bunicului său un bon vechi pe care scria: "7272 curcani =∗67.9∗=*67.9* euro", prima și ultima cifră a prețului fiind ilizibile. Presupunând că toate păsările au fost la fel de grele, puteți afla prețul unuia dintre curcanii cumpărați de bunicul lui Julien?

Art, Matematică pentru excelență, 3/52
Răspuns | Soluție

Răspuns: 5.115.11 euro.

Soluție:

Textul de pe bilet este echivalent cu "8⋅9⋅1008 \cdot 9 \cdot 100 curcani =x679y‾=\overline{x679y} euro". Deci numărul x679y‾\overline{x679y} trebuie să fie divizibil cu 88 și cu 9.9.
Din x679y‾ ⋮ 8⇒x679y‾ ⋮ 4⇒y∈{2,6}.\overline{x679y} ~ \vdots~ 8 \Rightarrow \overline{x679y} ~ \vdots~ 4 \Rightarrow y \in \{2,6\}.

  • pentru y=2⇒x6792‾ ⋮ 9⇒(x+24) ⋮ 9⇒x=3\boxed{y=2} \Rightarrow \overline{x6792} ~ \vdots~ 9 \Rightarrow (x+24)~\vdots~ 9 \Rightarrow \boxed{x=3} (convine, pentru că 36792 ⋮ 8).36792 ~\vdots ~8).

  • pentru y=6⇒x6796‾ ⋮ 9⇒(x+28) ⋮ 9⇒x=8y=6 \Rightarrow \overline{x6796} ~ \vdots~ 9 \Rightarrow (x+28)~\vdots~ 9 \Rightarrow x=8 (nu convine, pentru că 86796̸⋮ 8).86796 \not \vdots ~8).

Așadar, 72⋅10072 \cdot 100 curcani au costat 3679236792 euro, deci un curcan a costat 36792:7200=5,1136792:7200 =5,11 euro.

Observație: Un număr nn este divizibil cu 2k2^k dacă ultimele kk cifre ale lui nn formează un număr divizibil cu 8.8. Folosind această proprietate, putem omite din start cazul y=6.y=6. Rămâne doar y=2.\boxed{y=2}.

E.716. Să se demonstreze că numărul natural abcdef‾\overline{abcdef} se divide cu 77 dacă și numai dacă def‾−abc‾\overline{def}-\overline{abc} se divide cu 7.7.

Olimpiadă, etapa locală, Argeș, 2009
N. Grigore, Olimpiade și concursuri, 5/48
Soluție
Soluție:

Implicația directă: abcdef‾ ⋮ 7⇒\overline{abcdef} ~\vdots~7 \Rightarrow
⇒[abc‾(1001−1)+def‾] ⋮ 7⇒\Rightarrow [\overline{abc} (1001-1) + \overline{def}] ~\vdots~7 \Rightarrow
⇒[abc‾⋅7⋅11⋅13+(def‾−abc‾)] ⋮ 7⇒\Rightarrow [\overline{abc} \cdot 7 \cdot 11\cdot 13 + (\overline{def}-\overline{abc})] ~\vdots~7 \Rightarrow
⇒(def‾−abc‾) ⋮ 7.\Rightarrow (\overline{def}-\overline{abc})~\vdots~7.

Implicația inversă: (def‾−abc‾) ⋮ 7⇒(\overline{def}-\overline{abc})~\vdots~7 \Rightarrow
⇒[abc‾⋅7⋅11⋅13+(def‾−abc‾)] ⋮ 7⇒\Rightarrow [\overline{abc} \cdot 7 \cdot 11\cdot 13 + (\overline{def}-\overline{abc})] ~\vdots~7 \Rightarrow
⇒[abc‾(1001−1)+def‾] ⋮ 7⇒\Rightarrow [\overline{abc} (1001-1) + \overline{def}] ~\vdots~7 \Rightarrow
⇒abcdef‾ ⋮ 7.\Rightarrow \overline{abcdef} ~\vdots~7.

Observații:

  • Cele două demonstrații puteau fi unificate folosind relația de echivalență;
  • Raționamentele de mai sus rămân valabile și atunci când expresia def‾−abc‾\overline{def}-\overline{abc} conduce la un număr negativ.