Numere prime. Numere compuse

Dacă $a,~b,~c$ sunt toate numere impare atunci $a-b,~b-c$ și $a-c$ sunt numere pare. Cum acestea sunt și numere prime, înseamnă că $a-b=b-c=a-c=2$ (contradicție cu faptul că sunt diferite). Deci cel puțin unul dintre numere este par. Cum $a>b>c \Rightarrow \boxed{c=2} \Rightarrow a,~b$ prime impare.

Din $a,~b$ prime și impare și $a-b$ număr prim $\Rightarrow a-b=2,$ adică $\boxed{a=b+2}.$ Deci problema dată se reduce la a determina numerele prime și impare $b$ pentru care $b+2$ și $b-2$ sunt tot numere prime. Vom demonstra că singurele 3 numere prime, consecutive și impare sunt $3,~5$ și $7$, adică $\boxed{b=5}.$

• $b=6k+1$
  • $k=0$ - nu convine;
  • $k \geq1 \Rightarrow b+2 = 6k+3$ - nu convine ($\not=$ prim).
• $b=6k+3$
  • $k=0$ - nu convine;
  • $k \geq1 \Rightarrow b = 6k+3$ - nu convine ($\not=$ prim).
• $b=6k+5$
  • $k=0 \Rightarrow \boxed{b=5} \Rightarrow \boxed{a=7};$
  • $k \geq1 \Rightarrow b-2 = 6k+3$ - nu convine ($\not=$ prim).

În concluzie, numerele cerute sunt $\boxed{a=7},$ $\boxed{b=5}$ și $\boxed{c=2}.$

• Dacă $p=2 \Rightarrow p+4=6 \not=$ prim (nu convine);
• Dacă $\boxed{p=3} \Rightarrow \boxed{p+4=7}$ și $\boxed{p+20=23};$
• Dacă $p > 3$ avem cazurile:
  • $p=3k,~ k > 1 \Rightarrow p=3k \not=$ prim (nu convine);
  • $p=3k+1,~ k\geq1 \Rightarrow p+20=3(k+7) \not=$ prim (nu convine);
  • $p=3k+2,~ k\geq1 \Rightarrow p+4=3(k+2) \not=$ prim (nu convine).

Deci soluția unică este $\boxed{p=3}.$