Exercițiul 716

E.716. Să se demonstreze că numărul natural abcdef‾\overline{abcdef} se divide cu 77 dacă și numai dacă def‾−abc‾\overline{def}-\overline{abc} se divide cu 7.7.

Olimpiadă, etapa locală, Argeș, 2009
N. Grigore, Olimpiade și concursuri, 5/48
Soluție
Soluție:

Implicația directă: abcdef‾ ⋮ 7⇒\overline{abcdef} ~\vdots~7 \Rightarrow
⇒[abc‾(1001−1)+def‾] ⋮ 7⇒\Rightarrow [\overline{abc} (1001-1) + \overline{def}] ~\vdots~7 \Rightarrow
⇒[abc‾⋅7⋅11⋅13+(def‾−abc‾)] ⋮ 7⇒\Rightarrow [\overline{abc} \cdot 7 \cdot 11\cdot 13 + (\overline{def}-\overline{abc})] ~\vdots~7 \Rightarrow
⇒(def‾−abc‾) ⋮ 7.\Rightarrow (\overline{def}-\overline{abc})~\vdots~7.

Implicația inversă: (def‾−abc‾) ⋮ 7⇒(\overline{def}-\overline{abc})~\vdots~7 \Rightarrow
⇒[abc‾⋅7⋅11⋅13+(def‾−abc‾)] ⋮ 7⇒\Rightarrow [\overline{abc} \cdot 7 \cdot 11\cdot 13 + (\overline{def}-\overline{abc})] ~\vdots~7 \Rightarrow
⇒[abc‾(1001−1)+def‾] ⋮ 7⇒\Rightarrow [\overline{abc} (1001-1) + \overline{def}] ~\vdots~7 \Rightarrow
⇒abcdef‾ ⋮ 7.\Rightarrow \overline{abcdef} ~\vdots~7.

Observații:

  • Cele două demonstrații puteau fi unificate folosind relația de echivalență;
  • Raționamentele de mai sus rămân valabile și atunci când expresia def‾−abc‾\overline{def}-\overline{abc} conduce la un număr negativ.