Coliniaritate, concurență
E.186. În paralelogramul ABCD avem AB=4, BC=2, BD=3. Fie G centrul de greutate al △ABD și I centru înscris △ABD. Fie M∈(BC) astfel încât BM=2MC. Demonstrați că punctele G, I, M sunt coliniare.
Ana Iordache, MateMaraton, 20.01.2024
Soluție:
![](https://matemaraton.blob.core.windows.net/exercises/65ae5fb669a885f10a56e9ae.svg)
Fie E mijlocul lui AB. Cum CI bisectoare și BE=BC⇒CI∩AB={E}.
Fie F∈DB astfel încât DB=3BF⇒△DFC isoscel ⇒CH=HF, unde {H}=DI∩CF.
Fie K∈CF astfel încât CF=2FK.
CT bisectoare ⇒TDTB=CDCB=21⇒DT=2TB=TF.
Deci I este centru de greutate pentru △DFC⇒DHDI=32⇒GI∥EH (1).
EB∥DC⇒TECT=EBDC=2. Dar și FKCF=2. Rezultă TF∥EK și EKTF=23. Cum și TFDB=23, rezultă DB=EK.
Deci DEKB paralelogram ⇒GE∥BK și GE=3BK.
MBCM=HKCH=21⇒MH∥BK și MH=3BK.
Din ultimele două relații rezultă GEHM paralelogram ⇒GM∥EH (2).
Din (1) și (2) ⇒G, I, M coliniare.