Exercițiul 186

Fie $E$ mijlocul lui $AB.$ Cum $CI$ bisectoare și $BE=BC \Rightarrow CI \cap AB = \{E\}.$
Fie $F \in DB$ astfel încât $DB = 3BF \Rightarrow \triangle DFC$ isoscel $\Rightarrow \boxed{CH=HF}$, unde $\{H\} = DI \cap CF.$
Fie $K \in CF$ astfel încât $\boxed{CF=2FK}.$

$CT$ bisectoare $\Rightarrow \dfrac{TB}{TD}=\dfrac{CB}{CD}=\dfrac{1}{2} \Rightarrow{\boxed{DT=2TB=TF}}.$
Deci $I$ este centru de greutate pentru $\triangle DFC \Rightarrow \dfrac{DI}{DH} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow \boxed{GI \parallel EH}~(1).$

$EB \parallel DC \Rightarrow \dfrac{CT}{TE} = \dfrac{DC}{EB} = 2.$ Dar și $\dfrac{CF}{FK}=2.$ Rezultă $\boxed{TF \parallel EK}$ și $\dfrac{TF}{EK}=\dfrac{3}{2}.$ Cum și $\dfrac{DB}{TF}=\dfrac{3}{2},$ rezultă $\boxed{DB=EK}.$

Deci $DEKB$ paralelogram $\Rightarrow \boxed{GE \parallel BK \text{ și } GE = \dfrac{BK}{3}}.$

$\dfrac{CM}{MB} = \dfrac{CH}{HK}=\dfrac{1}{2} \Rightarrow \boxed{MH \parallel BK \text{ și } MH = \dfrac{BK}{3}}.$
Din ultimele două relații rezultă $GEHM$ paralelogram $\Rightarrow \boxed{GM \parallel EH}~(2).$
Din (1) și (2) $\Rightarrow \boxed{G,~I,~M \text{ coliniare}}.$