Exercițiul 186

E.186. În paralelogramul ABCDABCD avem AB=4AB=4, BC=2BC=2, BD=3.BD=3. Fie GG centrul de greutate al ABD\triangle ABD și II centru înscris ABD.\triangle ABD. Fie M(BC)M \in (BC) astfel încât BM=2MC.BM=2MC. Demonstrați că punctele GG, II, MM sunt coliniare.

Ana Iordache, MateMaraton, 20.01.2024
Soluție:


Fie EE mijlocul lui AB.AB. Cum CICI bisectoare și BE=BCCIAB={E}.BE=BC \Rightarrow CI \cap AB = \{E\}.
Fie FDBF \in DB astfel încât DB=3BFDFCDB = 3BF \Rightarrow \triangle DFC isoscel CH=HF\Rightarrow \boxed{CH=HF}, unde {H}=DICF.\{H\} = DI \cap CF.
Fie KCFK \in CF astfel încât CF=2FK.\boxed{CF=2FK}.

CTCT bisectoare TBTD=CBCD=12DT=2TB=TF.\Rightarrow \dfrac{TB}{TD}=\dfrac{CB}{CD}=\dfrac{1}{2} \Rightarrow{\boxed{DT=2TB=TF}}.
Deci II este centru de greutate pentru DFCDIDH=23GIEH (1).\triangle DFC \Rightarrow \dfrac{DI}{DH} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow \boxed{GI \parallel EH}~(1).

EBDCCTTE=DCEB=2.EB \parallel DC \Rightarrow \dfrac{CT}{TE} = \dfrac{DC}{EB} = 2. Dar și CFFK=2.\dfrac{CF}{FK}=2. Rezultă TFEK\boxed{TF \parallel EK} și TFEK=32.\dfrac{TF}{EK}=\dfrac{3}{2}. Cum și DBTF=32,\dfrac{DB}{TF}=\dfrac{3}{2}, rezultă DB=EK.\boxed{DB=EK}.

Deci DEKBDEKB paralelogram GEBK și GE=BK3.\Rightarrow \boxed{GE \parallel BK \text{ și } GE = \dfrac{BK}{3}}.

CMMB=CHHK=12MHBK și MH=BK3.\dfrac{CM}{MB} = \dfrac{CH}{HK}=\dfrac{1}{2} \Rightarrow \boxed{MH \parallel BK \text{ și } MH = \dfrac{BK}{3}}.
Din ultimele două relații rezultă GEHMGEHM paralelogram GMEH (2).\Rightarrow \boxed{GM \parallel EH}~(2).
Din (1) și (2) G, I, M coliniare.\Rightarrow \boxed{G,~I,~M \text{ coliniare}}.