Exercițiul 421

E.421. Fie DD și E,E, picioarele înălțimilor din A,A, respectiv B,B, ale triunghiului ABC.ABC. Dacă MM este mijlocul lui [BC],[BC], iar OO este centrul cercului circumscris triunghiului ABC,ABC, arătați că ME, AOME,~AO și paralela prin DD la BEBE sunt concurente.

Andrei Eckstein, Problema săptămânii 429
Soluție
Soluție:


Fie DF∥BE,DF \parallel BE, unde FF aparține cercului care trece prin vârfurile patrulaterului inscriptibil AEDB.AEDB. Vom arăta că F,M,EF,M,E și F,O,AF,O,A sunt coliniare.

EM mediana˘ ıˆn tr. dr. BEC⇒MEB^=MBE^B,E,D,F conciclice ⇒FEB^=FDB^Dar FDB^=MBE^}⇒FEB^=MBE^}⇒MEB^=FEB^⇒F,M,E coliniare. \begin{rcases} EM \text{ mediană în tr. dr. } BEC \Rightarrow \boxed{\widehat{MEB} = \widehat{MBE}} \\ \begin{rcases} B,E,D,F \text{ conciclice }\Rightarrow \widehat{FEB} = \widehat{FDB} \\ \text{Dar } \widehat{FDB} = \widehat{MBE} \end{rcases} \Rightarrow \boxed{\widehat{FEB} = \widehat{MBE}} \end{rcases} \Rightarrow \widehat{MEB} = \widehat{FEB} \Rightarrow \boxed{F,M,E \text{ coliniare}}.
OA=OB=OC⇒OAB^=90°−C^ (rezultat cunoscut, ușor de dem.) A,D,F,B conciclice⇒FAB^=FDB^Dar FDB^=DBE^}⇒FAB^=DBE^=90°−C^}⇒OAB^=FAB^⇒F,O,A coliniare. Q.E.D. \begin{rcases} OA=OB=OC \Rightarrow \boxed{\widehat{OAB}= 90\degree-\widehat{C}} \text{ (rezultat cunoscut, ușor de dem.) } \\ \begin{rcases} A,D,F,B \text{ conciclice} \Rightarrow \widehat{FAB} = \widehat{FDB} \\ \text{Dar } \widehat{FDB} = \widehat{DBE} \end{rcases} \Rightarrow \boxed{\widehat{FAB} = \widehat{DBE} = 90\degree - \widehat{C}} \end{rcases} \Rightarrow \widehat{OAB} = \widehat{FAB} \Rightarrow \boxed{F,O,A \text{ coliniare}}. \text{ Q.E.D.}