Exerciții diverse

Exerciții diverse

Nivel introductiv

E.87. Fie ABCABC un triunghi echilateral, MM mijlocul laturii [BC][BC] și D∈(AM)D \in (AM), astfel încât AM+MD=AB.AM + MD = AB. Determinați măsura unghiului ∡DBM.\measuredangle DBM.

Olimpiadă, etapa locală, Giurgiu, 2016, (7.O.82)
Indicații (3) | Răspuns | Soluție

Indicația 1: Prelungim AMAM până în punctul E, astfel încât ME≡MD.ME \equiv MD.

Indicația 2: ∡ABE≡∡AEB (=75°)\measuredangle ABE \equiv \measuredangle AEB \space (= 75\degree)

Indicația 3: ∡AEB≡∡BDE (=75°)\measuredangle AEB \equiv \measuredangle BDE \space (= 75\degree)

Răspuns: ∡DBM=15°\measuredangle DBM = 15\degree

Soluție:

Prelungim AMAM până în punctul E, astfel încât ME≡MD.ME \equiv MD.

AE=AM+ME=AM+MD=ip.AB⇒△ABEAE = AM+ME = AM+MD \xlongequal{ip.} AB \textcolor{red}{\Rightarrow} \triangle ABE isoscel.
În △ABE\triangle ABE isoscel, ∡BAE=30°⇒∡ABE≡∡AEB (=75°).\measuredangle BAE = 30\degree \textcolor{red}{\Rightarrow} \measuredangle ABE \equiv \measuredangle AEB \space (= 75\degree).

△BME≡△BMD (L.U.L.)⇒\triangle BME \equiv \triangle BMD \space (L.U.L.) \textcolor{red}{\Rightarrow} ∡E≡∡D (=75°)\measuredangle E \equiv \measuredangle D \space (= 75\degree)
În △BMD\triangle BMD, ∡M=90°\measuredangle M = 90\degree, ∡D=75°⇒∡DBM=15°\measuredangle D = 75\degree \textcolor{red}{\Rightarrow} \boxed{\measuredangle DBM = 15\degree}

E.88. În triunghiul isoscel ABCABC, cu [AB]≡[AC][AB] \equiv [AC], se consideră bisectoarele (AD(AD, respectiv (CE(CE, cu D∈(BC),E∈(AB)D \in (BC), E \in (AB) și punctul FF mijlocul lui (AC)(AC), astfel încât EF⊥AC.EF \bot AC.
a) Aflați măsurile unghiurilor triunghiului ABC.ABC.
b) Arătați că triunghiul ABPABP este isoscel, unde AD∩EF={P}.AD \cap EF = \{P\}.

Olimpiadă, etapa locală, Alba și Hunedoara, 2016 (7.O.4, 7.O.95)
Gazeta Matematică, 9/2015
Indicații (2) | Răspuns | Soluție

Indicația 1: a) ∡EAF≡∡ECF\measuredangle EAF \equiv \measuredangle ECF

Indicația 2: b) PB≡PCPB \equiv PC și PC≡PAPC \equiv PA

Răspuns: ∡A=36°,∡B=72°,∡C=72°.\measuredangle A = 36 \degree, \measuredangle B = 72 \degree, \measuredangle C = 72 \degree.

Soluție:

a) △EAF≡△ECF(L.U.L.)⇒∡EAF≡∡ECF (1)\triangle EAF \equiv \triangle ECF (L.U.L.) \textcolor{red}{\Rightarrow} \measuredangle EAF \equiv \measuredangle ECF \nobreakspace \textcolor{red}{(1)}
ECEC bisectoare ⇒∡ECF=∡BCA/2 (2)\textcolor{red}{\Rightarrow} \measuredangle ECF = \measuredangle BCA/2 \nobreakspace \textcolor{red}{(2)}
Din (1)(1) și (2)⇒∡C=2⋅∡A(2) \textcolor{red}{\Rightarrow} \measuredangle C = 2 \cdot \measuredangle A
Dar 2⋅∡C+∡A=180°⇒∡A=180:5=36°,∡B=∡C=72°2 \cdot \measuredangle C + \measuredangle A = 180 \degree \textcolor{red}{\Rightarrow} \boxed{\measuredangle A = 180:5 = 36 \degree}, \boxed{\measuredangle B = \measuredangle C = 72 \degree}

b) △PDB≡△PDC(L.U.L.)⇒PB≡PC (3)\triangle PDB \equiv \triangle PDC (L.U.L.) \textcolor{red}{\Rightarrow} PB \equiv PC \nobreakspace \textcolor{red}{(3)}
△PFC≡△PFA(L.U.L.)⇒PC≡PA (4)\triangle PFC \equiv \triangle PFA (L.U.L.) \textcolor{red}{\Rightarrow} PC \equiv PA \nobreakspace \textcolor{red}{(4)}
Din (3)(3) și (4)⇒PB≡PA⇒△ABP isoscel(4) \textcolor{red}{\Rightarrow} PB \equiv PA \textcolor{red}{\Rightarrow} \boxed{\triangle ABP \nobreakspace isoscel}.

E.89. În triunghiul ascuțitunghic ABCABC, mediana AM,M∈BCAM, M \in BC, este congruentă cu înălțimea BH,H∈AC.BH, H \in AC. Calculați măsura unghiului CAM.CAM.

Olimpiadă, etapa locală, Galați, 2019 (7.O.74)
Indicații (2) | Răspuns | Soluție

Indicația 1: Construim MN∥BHMN \parallel BH

Indicația 2: MN=BH2MN = \dfrac{BH}{2}

Răspuns: ∡CAM=30°.\measuredangle CAM = 30 \degree.

Soluție:

Construim MN∥BHMN \parallel BH, prin urmare și ∡MNA=90°.\measuredangle MNA = 90 \degree.
În △BCH,BM≡MC,MN∥BH⇒MN linie mijlocie⇒MN=BH2 (1)\triangle BCH, BM \equiv MC, MN \parallel BH \textcolor{red}{\Rightarrow} MN \space linie \space mijlocie \textcolor{red}{\Rightarrow} MN = \dfrac{BH}{2} \nobreakspace \textcolor{red}{(1)}
Dar BH≡AM (ip) (2)BH \equiv AM \space (ip) \nobreakspace \textcolor{red}{(2)}
Din (1) și (2) ⇒MN=AM2⇒\textcolor{red}{\Rightarrow} MN = \dfrac{AM}{2} \textcolor{red}{\Rightarrow} (T. unghiului de 30°30\degree) că ∡CAM=30°\boxed{\measuredangle CAM = 30 \degree}

E.90. În triunghiul ABCABC cu m(∡B\measuredangle B) >\gt m(∡C\measuredangle C) avem AD⊥BC,D∈BCAD \bot BC, D\in BC și EE mijlocul lui [BC].[BC]. Dacă AB=2⋅DE,AB = 2 \cdot DE, arătați că m(∡B)=2⋅m(∡C)m(\measuredangle B) = 2 \cdot m(\measuredangle C).

Olimpiadă, etapa locală, Argeș, 2016 (7.O.12)
Gazeta Matematică, 9/2015
Indicații (3) | Soluție

Indicația 1: Construim EFEF linie mijl. în △ABC\triangle ABC

Indicația 2: ∡F1≡∡E1≡∡C\measuredangle F_1 \equiv \measuredangle E_1 \equiv \measuredangle C

Indicația 3: ∡D1=2⋅∡E1\measuredangle D_1 = 2 \cdot \measuredangle E1

Soluție:

Construim EFEF linie mijl. în △ABC⇒EF∥AC⇒∡E1≡∡C (1)\triangle ABC \textcolor{red}{\Rightarrow} EF \parallel AC \textcolor{red}{\Rightarrow} \boxed{\measuredangle E_1 \equiv \measuredangle C} \nobreakspace \textcolor{red}{(1)}
În △ADB,∡D=90°,DF\triangle ADB, \measuredangle D = 90\degree, DF mediană ⇒DF=AB2.\textcolor{red}{\Rightarrow} DF = \dfrac{AB}{2}.
Dar și DE=ip.AB2⇒DF≡DE⇒∡E1≡∡F1.DE \xlongequal{ip.} \dfrac{AB}{2} \textcolor{red}{\Rightarrow} DF \equiv DE \textcolor{red}{\Rightarrow} \measuredangle E_1 \equiv \measuredangle F_1.

D1D_1 unghi exterior ⇒∡D1=∡E1+∡F1⇒∡D1=2⋅∡E1 (2)\textcolor{red}{\Rightarrow} \measuredangle D_1 = \measuredangle E_1 + \measuredangle F_1 \textcolor{red}{\Rightarrow} \boxed{\measuredangle D_1 = 2 \cdot \measuredangle E1} \nobreakspace \textcolor{red}{(2)}
Din FB≡FD⇒∡B≡∡D1 (3)FB \equiv FD \textcolor{red}{\Rightarrow} \boxed{\measuredangle B \equiv \measuredangle D_1} \nobreakspace \textcolor{red}{(3)}

Din (1), (2) și (3) ⇒m(∡B)=2⋅m(∡C)\textcolor{red}{\Rightarrow} \boxed{m(\measuredangle B) = 2 \cdot m(\measuredangle C)}