Exercițiul 87

E.87. Fie ABCABC un triunghi echilateral, MM mijlocul laturii [BC][BC] și D∈(AM)D \in (AM), astfel încât AM+MD=AB.AM + MD = AB. Determinați măsura unghiului ∡DBM.\measuredangle DBM.

Olimpiadă, etapa locală, Giurgiu, 2016, (7.O.82)
Indicații (3) | Răspuns | Soluție

Indicația 1: Prelungim AMAM până în punctul E, astfel încât ME≡MD.ME \equiv MD.

Indicația 2: ∡ABE≡∡AEB (=75°)\measuredangle ABE \equiv \measuredangle AEB \space (= 75\degree)

Indicația 3: ∡AEB≡∡BDE (=75°)\measuredangle AEB \equiv \measuredangle BDE \space (= 75\degree)

Răspuns: ∡DBM=15°\measuredangle DBM = 15\degree

Soluție:

Prelungim AMAM până în punctul E, astfel încât ME≡MD.ME \equiv MD.

AE=AM+ME=AM+MD=ip.AB⇒△ABEAE = AM+ME = AM+MD \xlongequal{ip.} AB \textcolor{red}{\Rightarrow} \triangle ABE isoscel.
În △ABE\triangle ABE isoscel, ∡BAE=30°⇒∡ABE≡∡AEB (=75°).\measuredangle BAE = 30\degree \textcolor{red}{\Rightarrow} \measuredangle ABE \equiv \measuredangle AEB \space (= 75\degree).

△BME≡△BMD (L.U.L.)⇒\triangle BME \equiv \triangle BMD \space (L.U.L.) \textcolor{red}{\Rightarrow} ∡E≡∡D (=75°)\measuredangle E \equiv \measuredangle D \space (= 75\degree)
În △BMD\triangle BMD, ∡M=90°\measuredangle M = 90\degree, ∡D=75°⇒∡DBM=15°\measuredangle D = 75\degree \textcolor{red}{\Rightarrow} \boxed{\measuredangle DBM = 15\degree}