Exercițiul 89

E.89. În triunghiul ascuțitunghic ABCABC, mediana AM,M∈BCAM, M \in BC, este congruentă cu înălțimea BH,H∈AC.BH, H \in AC. Calculați măsura unghiului CAM.CAM.

Olimpiadă, etapa locală, Galați, 2019 (7.O.74)
Indicații (2) | Răspuns | Soluție

Indicația 1: Construim MN∥BHMN \parallel BH

Indicația 2: MN=BH2MN = \dfrac{BH}{2}

Răspuns: ∡CAM=30°.\measuredangle CAM = 30 \degree.

Soluție:

Construim MN∥BHMN \parallel BH, prin urmare și ∡MNA=90°.\measuredangle MNA = 90 \degree.
În △BCH,BM≡MC,MN∥BH⇒MN linie mijlocie⇒MN=BH2 (1)\triangle BCH, BM \equiv MC, MN \parallel BH \textcolor{red}{\Rightarrow} MN \space linie \space mijlocie \textcolor{red}{\Rightarrow} MN = \dfrac{BH}{2} \nobreakspace \textcolor{red}{(1)}
Dar BH≡AM (ip) (2)BH \equiv AM \space (ip) \nobreakspace \textcolor{red}{(2)}
Din (1) și (2) ⇒MN=AM2⇒\textcolor{red}{\Rightarrow} MN = \dfrac{AM}{2} \textcolor{red}{\Rightarrow} (T. unghiului de 30°30\degree) că ∡CAM=30°\boxed{\measuredangle CAM = 30 \degree}