Exercițiul 88

E.88. În triunghiul isoscel ABCABC, cu [AB]≡[AC][AB] \equiv [AC], se consideră bisectoarele (AD(AD, respectiv (CE(CE, cu D∈(BC),E∈(AB)D \in (BC), E \in (AB) și punctul FF mijlocul lui (AC)(AC), astfel încât EF⊥AC.EF \bot AC.
a) Aflați măsurile unghiurilor triunghiului ABC.ABC.
b) Arătați că triunghiul ABPABP este isoscel, unde AD∩EF={P}.AD \cap EF = \{P\}.

Olimpiadă, etapa locală, Alba și Hunedoara, 2016 (7.O.4, 7.O.95)
Gazeta Matematică, 9/2015
Indicații (2) | Răspuns | Soluție

Indicația 1: a) ∡EAF≡∡ECF\measuredangle EAF \equiv \measuredangle ECF

Indicația 2: b) PB≡PCPB \equiv PC și PC≡PAPC \equiv PA

Răspuns: ∡A=36°,∡B=72°,∡C=72°.\measuredangle A = 36 \degree, \measuredangle B = 72 \degree, \measuredangle C = 72 \degree.

Soluție:

a) △EAF≡△ECF(L.U.L.)⇒∡EAF≡∡ECF (1)\triangle EAF \equiv \triangle ECF (L.U.L.) \textcolor{red}{\Rightarrow} \measuredangle EAF \equiv \measuredangle ECF \nobreakspace \textcolor{red}{(1)}
ECEC bisectoare ⇒∡ECF=∡BCA/2 (2)\textcolor{red}{\Rightarrow} \measuredangle ECF = \measuredangle BCA/2 \nobreakspace \textcolor{red}{(2)}
Din (1)(1) și (2)⇒∡C=2⋅∡A(2) \textcolor{red}{\Rightarrow} \measuredangle C = 2 \cdot \measuredangle A
Dar 2⋅∡C+∡A=180°⇒∡A=180:5=36°,∡B=∡C=72°2 \cdot \measuredangle C + \measuredangle A = 180 \degree \textcolor{red}{\Rightarrow} \boxed{\measuredangle A = 180:5 = 36 \degree}, \boxed{\measuredangle B = \measuredangle C = 72 \degree}

b) △PDB≡△PDC(L.U.L.)⇒PB≡PC (3)\triangle PDB \equiv \triangle PDC (L.U.L.) \textcolor{red}{\Rightarrow} PB \equiv PC \nobreakspace \textcolor{red}{(3)}
△PFC≡△PFA(L.U.L.)⇒PC≡PA (4)\triangle PFC \equiv \triangle PFA (L.U.L.) \textcolor{red}{\Rightarrow} PC \equiv PA \nobreakspace \textcolor{red}{(4)}
Din (3)(3) și (4)⇒PB≡PA⇒△ABP isoscel(4) \textcolor{red}{\Rightarrow} PB \equiv PA \textcolor{red}{\Rightarrow} \boxed{\triangle ABP \nobreakspace isoscel}.