Dreaptă paralelă cu un plan

Tema 5 - Soluții

Lucian Maran, 08-12-2025

Problema 1. Triunghiul ABCABC are latura BCBC inclusă în planul α,\alpha, iar A∉α.A \not \in \alpha. Dacă AB=6AB=6 cm, AC=18AC=18 cm, iar punctele EE și FF sunt situate pe laturile ABAB și ACAC astfel încât AE=2AE=2 cm și CF=12CF=12 cm, demonstrați că EF∥α.EF \parallel \alpha.

Art, 12/125, **, E.830
Soluție:

AEAB=AFAC(=12)⇒EF∥BC.\dfrac{AE}{AB} = \dfrac{AF}{AC} \Big(=\dfrac{1}{2}\Big) \Rightarrow EF \parallel BC.

EF∥BCBC⊂αEF⊄α}⇒EF∥α. \begin{rcases} EF \parallel BC \\ BC \subset \alpha \\ EF \not \subset \alpha \end{rcases} \Rightarrow \boxed{EF \parallel \alpha}.

Problema 2. Fie piramida patrulateră VABCD,VABCD, în care notăm cu EE și FF centrele de greutate ale fețelor VADVAD și respectiv VBC.VBC. Arătați că dreapta EFEF este paralelă cu baza (ABC).(ABC).

Art, 17/126, **, E.831
Soluție:

Fie VMVM și VNVN mediane în triunghiurile VAD,VAD,respectiv VBC.VBC.
EE și FF fiind centre de greutate, înseamnă că ele se află pe aceste mediane, la două treimi de vârf. VEVM=VFVN(=23)⇒EF∥MN.\dfrac{VE}{VM} = \dfrac{VF}{VN} \Big(=\dfrac{2}{3}\Big) \Rightarrow EF \parallel MN.

EF∥MBMN⊂(ABC)EF⊄(ABC)}⇒EF∥(ABC). \begin{rcases} EF \parallel MB \\ MN \subset (ABC) \\ EF \not \subset (ABC) \end{rcases} \Rightarrow \boxed{EF \parallel (ABC)}.

Problema 3. (Teorema acoperișului) Fie planele α\alpha și β\beta a căror intersecție este dreapta h.h. Fie dreptele dd și g,g, distincte de dreapta h,h, astfel încât d⊂α, g⊂βd \subset \alpha,~g \subset \beta și d∥g.d \parallel g. Arătați că d∥h.d \parallel h.

Art, 21/126, **, E.832
Soluție:

Presupunem d⊂βdar d⊂α}⇒d=α∩β=h - contradicție cu d și h distincte. Deci d⊄β. \begin{rcases} \text{Presupunem } d \subset \beta \\ \text{dar } d \subset \alpha \end{rcases} \Rightarrow d = \alpha \cap \beta = h \text{ - contradicție cu } d \text{ și } h \text{ distincte. Deci } \boxed{d \not \subset \beta}.
d∥gg⊂βd⊄β}⇒d∥β (1) \begin{rcases} d \parallel g \\ g \subset \beta \\ d \not \subset \beta \end{rcases} \Rightarrow \boxed{d \parallel \beta} ~(1)

Dreptelele dd și hh sunt coplanare. Presupunem d∦h,d \not \parallel h, cu d∩h={A},d \cap h = \{A\}, deci A∈h\boxed{A \in h} și A∈d\boxed{A \in d} (2)

A∈hh⊂β}⇒A∈β (3) \begin{rcases} A \in h \\ h \subset \beta \end{rcases} \Rightarrow \boxed{A \in \beta} ~(3)
Din (2), (3) ⇒d∦β\Rightarrow d \not \parallel \beta - contradicție cu (1).
Așadar, presupunerea făcută este falsă. Rezultă d∥h.\boxed{d \parallel h}.

Problema 4. Fie VABCDVABCD o piramidă patrulateră regulată, cu vârful V,V, și fie punctele M∈VD, N∈VA,M \in VD,~ N \in VA, astfel încât BM⊥VDBM \perp VD și CN⊥VA.CN \perp VA. Arătați că MN∥(ABC).MN \parallel (ABC).

Art, 25/126, **, E.833
Soluție:

VABCDVABCD piramidă patrulateră regulată ⇒BVD^=CVA^\Rightarrow \widehat{BVD} = \widehat{CVA} și BV≡CV.BV \equiv CV.
△BVM≡△CVN (I.U.)⇒VM≡VN.\triangle BVM \equiv \triangle CVN ~(I.U.) \Rightarrow \boxed{VM \equiv VN}.

VMVD=VNVA⇒MN∥AD.\dfrac{VM}{VD} = \dfrac{VN}{VA} \Rightarrow MN \parallel AD.

MN∥ADAD⊂(ABC)MN⊄(ABC)}⇒MN∥(ABC). \begin{rcases} MN \parallel AD \\ AD \subset (ABC)\\ MN \not \subset (ABC) \end{rcases} \Rightarrow \boxed{MN \parallel (ABC)}.

Problema 5. În tetraedrul ABCDABCD se notează cu MM mijlocul laturii BC.BC. Fie MNMN bisectoarea unghiului AMB, N∈ABAMB,~ N \in AB și fie MPMP bisectoarea unghiului AMC, P∈AC.AMC, ~P \in AC. Stabiliți poziția dreptei NPNP față de planul (BCD).(BCD).

Mate2000, 20/127, ***, E.834
Soluție:

În triunghiul AMB, MNAMB,~MN bisectoare ⇒ANNB=AMMB(1)\Rightarrow \dfrac{AN}{NB} = \dfrac{AM}{MB} \quad (1)

În triunghiul AMC, MPAMC,~MP bisectoare ⇒APPC=AMMC(2)\Rightarrow \dfrac{AP}{PC} = \dfrac{AM}{MC} \quad (2)

Din (1), (2) și MB=MC⇒ANNB=APPC⇒NP∥BC.MB=MC \Rightarrow \dfrac{AN}{NB} = \dfrac{AP}{PC} \Rightarrow \boxed{NP \parallel BC}.

NP∥BCBC⊂(BCD)NP⊄(BCD)}⇒NP∥(BDC). \begin{rcases} NP \parallel BC \\ BC \subset (BCD)\\ NP \not \subset (BCD) \end{rcases} \Rightarrow \boxed{NP \parallel (BDC)}.