Dreaptă paralelă cu un plan

Tema 5 - Soluții

Lucian Maran, 08-12-2025

Problema 1. Triunghiul ABCABC are latura BCBC inclusă în planul α,\alpha, iar A∉α.A \not \in \alpha. Dacă AB=6AB=6 cm, AC=18AC=18 cm, iar punctele EE și FF sunt situate pe laturile ABAB și ACAC astfel încât AE=2AE=2 cm și CF=12CF=12 cm, demonstrați că EF∥α.EF \parallel \alpha.

Art, 12/125, **, E.830

Problema 2. Fie piramida patrulateră VABCD,VABCD, în care notăm cu EE și FF centrele de greutate ale fețelor VADVAD și respectiv VBC.VBC. Arătați că dreapta EFEF este paralelă cu baza (ABC).(ABC).

Art, 17/126, **, E.831

Indicații: La 2, prelungim VE și VF până atunci laturile AD și BC. În triunghiul astfel format, latura EF este paralelă cu baza.

Problema 3. (Teorema acoperișului) Fie planele α\alpha și β\beta a căror intersecție este dreapta h.h. Fie dreptele dd și g,g, distincte de dreapta h,h, astfel încât d⊂α, g⊂βd \subset \alpha,~g \subset \beta și d∥g.d \parallel g. Arătați că d∥h.d \parallel h.

Art, 21/126, **, E.832

Problema 4. Fie VABCDVABCD o piramidă patrulateră regulată, cu vârful V,V, și fie punctele M∈VD, N∈VA,M \in VD,~ N \in VA, astfel încât BM⊥VDBM \perp VD și CN⊥VA.CN \perp VA. Arătați că MN∥(ABC).MN \parallel (ABC).

Art, 25/126, **, E.833

Indicații: △VBM≡△VCN⇒VM≡VN.\triangle VBM \equiv \triangle VCN \Rightarrow VM \equiv VN.

Problema 5. În tetraedrul ABCDABCD se notează cu MM mijlocul laturii BC.BC. Fie MNMN bisectoarea unghiului AMB, N∈ABAMB,~ N \in AB și fie MPMP bisectoarea unghiului AMC, P∈AC.AMC, ~P \in AC. Stabiliți poziția dreptei NPNP față de planul (BCD).(BCD).

Mate2000, 20/127, ***, E.834

Indicații: Aplicăm de două ori T . bisectoarei și ajungem astfel la NP || BC.