Recapitulare pentru testul inițial (geometrie)

Tema 2 - Soluții

Lucian Maran, MateMaraton, 21-09-2025

Problema 1. Se consideră un triunghi isoscel ABCABC cu BAC^=120°\widehat{BAC}=120\degree și BC=6BC=6 cm.
a) Arătați că AB=23AB=2\sqrt{3} cm.
b) Calculați distanța de la punctul BB la dreapta AC.AC.

Art, Test evaluare finală cls.7, 6/139, E.288
Soluție:

a) Construim AD⊥AC⇒A1^=A2^=60°AD \perp AC \Rightarrow \widehat{A_1}=\widehat{A_2}=60\degree și BD=3BD=3 cm. În triunghiul ABD,AB=BDsin⁡A1=23.ABD, AB = \dfrac{BD}{\sin {A_1}} = 2\sqrt{3}.

b) Fie EE piciorul perpendicularei din BB pe AC.AC. În triunghiul BCE, C^=30°⇒BE=BC2=3 cm.BCE,~ \widehat{C}=30\degree \Rightarrow \boxed{BE=\dfrac{BC}{2}=3 \text{ cm}}.

Problema 2. Dreptunghiul ABCDABCD are AB=4AB=4 cm și BD=6BD=6 cm. Perpendiculara din punctul AA pe dreapta BDBD intersectează dreapta CDCD în punctul EE.
a) Calculați valoarea sinusului unghiului DBC.DBC.
b) Calculați lungimea segmentului DE.DE.

Art, Test evaluare finală cls.7, 6/138, E.289
Soluție:

a) sin⁡B1^=DCDB=23.\sin{\widehat{B_1}} = \dfrac{DC}{DB}=\dfrac{2}{3}.

b) Din triunghiul ABDABD obținem AD=25.AD=2\sqrt{5}. Totodată, B1^=E1^\widehat{B_1}=\widehat{E_1} și A1^=D1^.\widehat{A_1}=\widehat{D_1}.
△DEA∼△CBD⇒DECB=DACD⇒DE=25⋅254=5\triangle DEA \sim \triangle CBD \Rightarrow \dfrac{DE}{CB} = \dfrac{DA}{CD} \Rightarrow DE=\dfrac{2\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{5}}{4} = 5 cm.

Problema 3. În figura alăturată este reprezentat triunghiul isoscel ABCABC cu AB=AC.AB=AC. Înălțimea din vârful AA intersectează latura BCBC în punctul DD și AD=BC.AD=BC. Înălțimea din vârful BB intersectează latura ACAC în punctul E.E. Înălțimile ADAD și BEBE se intersectează în punctul H.H.
(2p) a) Arată că unghiurile DACDAC și EBCEBC au aceeași măsură.
(3p) b) Demonstrează că AH=3⋅HD.AH = 3\cdot HD.

Examen EN, 2024, E.284
Soluție:

a) A1^=90°−C^, B1^=90°−C^⇒A1^=B1^.\widehat{A_1}=90\degree - \widehat{C},~\widehat{B_1}=90\degree - \widehat{C} \Rightarrow \boxed{\widehat{A_1}=\widehat{B_1}}.

b) △BHD∼△ACD⇒HDCD=BDAD\triangle BHD \sim \triangle ACD \Rightarrow\dfrac{HD}{CD} = \dfrac{BD}{AD}

Cum CD=BD=BC2=AD2,CD=BD=\dfrac{BC}{2} = \dfrac{AD}{2}, egalitatea de mai sus devine HD=AD4,HD = \dfrac{AD}{4}, adică AH=3⋅HD.\boxed{AH = 3 \cdot HD}.

Problema 4. În figura alăturată este reprezentat trapezul dreptunghic ABCDABCD cu AB∥CDAB \parallel CD și BC=10BC =10 cm. Semidreapta BDBD este bisectoarea unghiului ABCABC și măsura unghiului ABDABD este egală cu 15°.15\degree.
(2p) a) Determină măsura unghiului BCDBCD.
(3p) b) Arată că AB−AD≤14AB - AD \leq 14 cm.

Examen EN, 2023, E.286
Soluție:


a) B^=30°⇒C^=360−180−30,\widehat{B} = 30\degree \Rightarrow \widehat{C}= 360-180-30, deci C^=150°.\boxed{\widehat{C}=150\degree}.

b) Din DC∥AB⇒D1^=B1^,DC \parallel AB \Rightarrow \widehat{D_1}=\widehat{B_1}, deci CD=CB=10CD=CB=10 cm.
Construim CE⊥AB.CE \perp AB. Cum B^=30°⇒CE=AD=5 cm\widehat{B}=30\degree \Rightarrow \boxed{CE=AD=5 ~\text{cm}} și BE=53 cm.\boxed{BE=5\sqrt{3} ~cm}.
AB−AD=(10+55)−5=5+53.AB-AD = (10+5\sqrt{5})-5 =5+5\sqrt{3}.
5+53<14⇔53<9⇔75<815+5\sqrt{3} <14 \Leftrightarrow 5\sqrt{3} < 9 \Leftrightarrow 75 < 81 (adevărat).

Problema 5. În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul ABCDABCD și punctele M∈DC, N∈BCM \in DC, ~N \in BC astfel încât MAD^≡BAN^.\widehat{MAD} \equiv \widehat{BAN}. Se consideră lungimile segmentelor: AB=9AB = 9 cm, BC=12BC = 12 cm și DM=4DM = 4 cm.
(2p) a) Demonstrează că BN=3BN = 3 cm.
(3p) b) Determină aria triunghiului AMN.AMN.

Evaluare inițială, Călărași, septembrie 2025, E.783
Soluție:

a) △ABN∼△ADM\triangle ABN \sim \triangle ADM (U.U.) ⇒ABAD=BNDM⇒BN=9⋅412,\Rightarrow \dfrac{AB}{AD} = \dfrac{BN}{DM} \Rightarrow BN=\dfrac{9 \cdot 4}{12}, deci BN=3 cm.\boxed{BN=3 \text{ cm}}.

b) AAMN=AABCD−(AABN+ANCM+AMDA)=9⋅12−(9⋅32+9⋅52+12⋅42),A_{AMN} = A_{ABCD} - (A_{ABN} + A_{NCM} + A_{MDA}) = 9 \cdot 12 - \Big(\dfrac{9 \cdot 3}{2} + \dfrac{9 \cdot 5}{2} + \dfrac{12 \cdot 4}{2}\Big), deci AAMN=48 cm2.\boxed{A_{AMN}=48 \text{ cm}^2}.

Problema 6. În figura alăturată este reprezentat cercul de centru O,O, cu diametrul AB=20AB = 20 cm. BCBC este tangentă la cerc, dreapta ACAC intersectează a doua oară cercul în P,P, iar AP=16AP = 16 cm.
(2p) a) Arată că aria cercului de diametru ABAB este egală cu 100π100 \pi cm2.^2.
(3p) b) Determină lungimea segmentului BC.BC.

Evaluare inițială, Călărași, septembrie 2025, E.784
Soluție:

a): Aria cercului este π⋅r2,\pi \cdot r^2, deci AC(O,AO)=π⋅AO2,A_{\mathcal{C}(O,AO)} = \pi \cdot AO^2, adică AC(O,AO)=100π cm2.\boxed{A_{\mathcal{C}(O,AO)} = 100 \pi \text{ cm}^2}.

b): BCBC este tangentă la cerc ⇒ABC^=90°.\Rightarrow \widehat{ABC}=90\degree.
Arcul corespunzător unghiului APBAPB este chiar semicercul AB⇒APB^=90°.AB \Rightarrow \widehat{APB}=90\degree.
În triunghiul APB, BP2=AB2−AP2⇒BP=12 cm.APB,~ BP^2=AB^2-AP^2 \Rightarrow \boxed{BP=12 \text{ cm}.}
Din teorema înalțimii, BP2=AP⋅PC⇒PC=9 cm.BP^2=AP \cdot PC \Rightarrow \boxed{PC=9 \text{ cm}.}
Îm triunghiul BPC,BC2=BP2+PC2⇒BC=15 cm.BPC, BC^2=BP^2+PC^2 \Rightarrow \boxed{BC=15 \text{ cm}.}