Noțiuni și criterii de divizibilitate

Tema 7

Lucian Maran, 15-01-2025

Problema 1. Un număr natural de forma abcd‾\overline{abcd} se numește faimos dacă 5⋅ab‾=3⋅cd‾.5 \cdot \overline{ab} = 3 \cdot \overline{cd}.
a) Arătați că orice număr faimos se divide cu 61.61.
b) Calculați suma tuturor numerelor faimoase.

Gabriela Sascău, Olimpiadă, etapa locală, Suceava, 2020, E.701
Soluție:

a) 5⋅ab‾=3⋅cd‾∣⋅20⇒100⋅ab‾=60⋅cd‾.5 \cdot \overline{ab} = 3 \cdot \overline{cd} \quad |\cdot 20 \Rightarrow \boxed{100 \cdot \overline{ab} = 60 \cdot \overline{cd}}.
abcd‾=100⋅ab‾+cd‾=60⋅cd‾+cd‾=61⋅cd‾=M61.\overline{abcd} = 100 \cdot \overline{ab} + \overline{cd} = 60 \cdot \overline{cd}+\overline{cd} = 61\cdot \overline{cd} = M_{61}.

b) 3⋅cd‾=M5⇒cd‾∈{10,15,20,…,95}.3 \cdot \overline{cd} = M_5 \Rightarrow \boxed{\overline{cd} \in \{10, 15, 20, \ldots, 95 \}}.

  • din ab‾≥10⇒5⋅ab‾≥50⇒3⋅cd‾≥50⇒cd‾≥20;\overline{ab} \geq 10 \Rightarrow 5 \cdot \overline{ab} \geq 50 \Rightarrow 3 \cdot \overline{cd} \geq 50 \Rightarrow \boxed{\overline{cd}\geq 20};
  • din ab‾≤99⇒5⋅ab‾≤5⋅99⇒3⋅cd‾≤5⋅99\overline{ab} \leq 99 \Rightarrow 5 \cdot \overline{ab} \leq 5 \cdot 99 \Rightarrow 3 \cdot \overline{cd} \leq 5 \cdot 99 - adevărat.

Deci cd‾∈{20,25,25,…,95}.\boxed{\overline{cd} \in \{20, 25, 25, \ldots, 95 \}}.
Cum la punctul a) am aflat că abcd‾=61⋅cd‾,\overline{abcd} =61 \cdot \overline{cd}, avem:
S=61⋅5⋅(4+5+⋅+19)=61⋅5⋅184=56120.S=61 \cdot 5 \cdot (4+5+ \cdot + 19) = 61 \cdot 5 \cdot 184 =56120.

Problema 2. Determinați numerele de forma abcdef‾,\overline{abcdef}, știind că {a,b,c,d,e,f}={1,2,3,4,5,6}, abcdef‾ ⋮ 6, abcde‾ ⋮ 5, abcd‾ ⋮ 4, abc‾ ⋮ 3, ab‾ ⋮ 2.\{a,b,c,d,e,f\} = \{1,2,3,4,5,6\},~ \overline{abcdef} ~\vdots~6, ~ \overline{abcde} ~\vdots~5,~ \overline{abcd} ~\vdots~4, ~ \overline{abc} ~\vdots~3, ~ \overline{ab} ~\vdots~2.

Olimpiadă, etapa locală, Neamț, 2020, E.702
Soluție:

{a,b,c,d,e,f}={1,2,3,4,5,6},\{a,b,c,d,e,f\} = \{1,2,3,4,5,6\}, deci cifrele nu se repetă.

  • abcde‾ ⋮ 5⇒e=5\overline{abcde} ~\vdots~ 5 \Rightarrow \boxed{e=5} și {a,b,c,d,f}={1,2,3,4,6};\{a,b,c,d,f\} = \{1,2,3,4,6\};
  • abcdef‾ ⋮ 6, abcd‾ ⋮ 4, ab‾ ⋮ 2⇒{b,d,f}={2,4,6}⇒{a,c}={1,3};\overline{abcdef} ~\vdots~6, ~ \overline{abcd} ~\vdots~4, ~ \overline{ab} ~\vdots~2 \Rightarrow \boxed{\{b,d,f\} = \{2,4,6\}} \Rightarrow \boxed{\{a,c\} = \{1,3\}};
  • abc‾ ⋮ 3⇒(a+b+c) ⋮ 3⇒(4+b) ⋮ 3⇒b=2⇒{d,f}={4,6};\overline{abc} ~\vdots~3 \Rightarrow (a+b+c) ~\vdots~ 3 \Rightarrow (4+b) ~\vdots~ 3 \Rightarrow \boxed{b=2} \Rightarrow \boxed{\{d,f\} = \{4,6\}};
  • abcd‾ ⋮ 4⇒cd‾ ⋮ 4⇒cd‾∈{16,36}⇒d=6⇒f=4;\overline{abcd} ~\vdots~4 \Rightarrow \overline{cd} ~\vdots~4 \Rightarrow \overline{cd} \in \{16,36\} \Rightarrow \boxed{d=6} \Rightarrow \boxed{f=4};
    • dacă c=1⇒a=3→abcdef‾=321654;\boxed{c=1} \Rightarrow \boxed{a=3} \rightarrow \boxed{\overline{abcdef} = 321654};
    • dacă c=3⇒a=1→abcdef‾=123654.\boxed{c=3} \Rightarrow \boxed{a=1} \rightarrow \boxed{\overline{abcdef} = 123654}.

Problema 3. Fie aa și bb numere naturale nenule, astfel încât a∣a⋅b+ba|a \cdot b+b și b∣a⋅b+a.b|a \cdot b + a. Arătați că a=b.a=b.

Olimpiadă, etapa locală, Argeș, 2024, E.703
Lipsește soluția

Problema 4. Să se arate că, dacă ab‾  ⋮ (a+b)\overline{ab} ~~\vdots~ (a+b) atunci și ba‾  ⋮ (a+b),\overline{ba} ~~ \vdots ~ (a+b), oricare ar fi cifrele a,ba,b nenule.

Olimpiadă, etapa locală, Mehedinți, 2024, E.707
Lipsește soluția

Problema 5. Să se arate că numărul n=1+25+210+…+22025n=1+2^5+2^{10}+\ldots+2^{2025} este divizibil cu 33.33.

Olimpiadă, etapa locală, Bihor, 2025, E.704
Lipsește soluția

Problema 6. Să se arate că numărul A=20232023+20242024+20252025A=2023^{2023} + 2024^{2024} + 2025^{2025} este divizibil cu 23.23.

Olimpiadă, etapa locală, Galați, 2024, E.705
Lipsește soluția