Problema 1. Un număr natural de forma $\overline{abcd}$ se numește faimos dacă $5 \cdot \overline{ab} = 3 \cdot \overline{cd}.$
a) Arătați că orice număr faimos se divide cu $61.$
b) Calculați suma tuturor numerelor faimoase.

Problema 2. Determinați numerele de forma $\overline{abcdef},$ știind că $\{a,b,c,d,e,f\} = \{1,2,3,4,5,6\},~ \overline{abcdef} ~\vdots~6, ~ \overline{abcde} ~\vdots~5,~ \overline{abcd} ~\vdots~4, ~ \overline{abc} ~\vdots~3, ~ \overline{ab} ~\vdots~2.$

Problema 3. Fie $a$ și $b$ numere naturale nenule, astfel încât $a|a \cdot b+b$ și $b|a \cdot b + a.$ Arătați că $a=b.$

Problema 4. Să se arate că, dacă $\overline{ab} ~~\vdots~ (a+b)$ atunci și $\overline{ba} ~~ \vdots ~ (a+b),$ oricare ar fi cifrele $a,b$ nenule.

Problema 5. Să se arate că numărul $n=1+2^5+2^{10}+\ldots+2^{2025}$ este divizibil cu $33.$

Problema 6. Să se arate că numărul $A=2023^{2023} + 2024^{2024} + 2025^{2025}$ este divizibil cu $23.$