Ultima cifră a unei puteri

Tema 9

Lucian Maran, MateMaraton, 24-11-2024

Problema 1. Determinați ultima cifră a numărului N=7410+749+748++741+7.N=7 \cdot 4^{10} + 7 \cdot 4^9+7 \cdot 4^8 + \ldots + 7 \cdot 4^1 + 7.

Olimpiadă, etapa locală, Bistrița-Năsăud, 2020, E.512

Răspuns: 7.7.

Problema 2. Determinați ultimele două cifre ale numărului S=15+152+153++151515.S=15+15^2+15^3+ \ldots + 15^{1515}.

Olimpiadă, etapa locală, Timiș, 2018, E.508
RMT 4/2014

Răspuns: 15.15.

Problema 3. Determinați ultimele 44 cifre ale numărului a=220262202022019.a=2^{2026} - 2^{2020} - 2^{2019}.

Olimpiadă, etapa locală, Ialomița, 2019, E.502

Răspuns: 6000.6000.

Problema 4. Determinați ultimele 1212 cifre ale numărului n=5202052019+252017+51452016.n=5^{2020}-5^{2019}+ 2 \cdot 5^{2017} + 514 \cdot 5^{2016}.

Olimpiadă, etapa locală, Gorj, 2020, E.511

Răspuns: 2500010 de 0.25\underbrace{00 \ldots 0}_{\text{10 de 0}}.

Problema 5. Se consideră numărul a=234n+3+8234n+2+101,a=23^{4n+3} + 8 \cdot 23^{4n+2} + 101, unde nn este număr natural. Determinați ultima cifră a câtului obținut prin împărțirea lui aa la 31.31.

Costel Chiteș și Liliana Toderiuc-Fedorca, Olimpiadă, etapa locală, București, 2019, E.504

Răspuns: 2.2.

Problema 6. Ultima cifră a numărului n2018n^{2018} este 9.9. Aflați ultima cifră a numărului n2020.n^{2020}.

Marian Ciuperceanu GM 10/2019, Olimpiadă, etapa locală, Constanța 2020; Hunedoara 2020, E.509

Răspuns: 1.1.