Compararea puterilor

Tema 7

Lucian Maran, MateMaraton, 11-11-2024

Problema 1. Comparați numerele a=32018:9a=3^{2018}:9 și b=22018(2504:2)2.b=2^{2018} \cdot (2^{504}:2)^2.

Olimpiadă, etapa locală, Giurgiu, 2018, E.437
Soluție:

a=32018:9=32018:32=32016.a=3^{2018}:9 = 3^{2018}:3^2 = 3^{2016}.
b=22018(2504:2)2=22018(2503)2=2201821006=23024.b=2^{2018} \cdot (2^{504}:2)^2 = 2^{2018} \cdot (2^{503})^2 = 2^{2018} \cdot 2^{1006} = 2^{3024}.

Comparăm aa cu bb:
321008 ? 2310083^{2 \cdot 1008} ~ \boxed{?} ~ 2^{3 \cdot 1008}
(32)1008 ? (23)1008(3^2)^{1008} ~ \boxed{?} ~ (2^3)^{1008}
91008 > 81008.9^{1008} ~ \boxed{>} ~ 8^{1008}.

Problema 2. Arătați că 524:2<255<525.5^{24}:2 < 2^{55} < 5 ^{25}.

Olimpiadă, etapa locală, Olt, 2018, E.439
Soluție:

Demonstrăm separat cele două inegalități:
a) 524:2 ? 25525^{24}:2 ~ \boxed{?} ~ 2^{55} \quad | \cdot 2
538 ? 2785^{3 \cdot 8} ~ \boxed{?} ~ 2^{7 \cdot 8}
(53)8 ? (27)8(5^3)^8~ \boxed{?} ~ (2^7)^8
1258 < 1288.125^8~ \boxed{<} ~ 128^8.

b) 255 ? 5252^{55} ~ \boxed{?} ~ 5^{25}
2115 ? 5552^{11 \cdot 5} ~ \boxed{?} ~ 5^{5 \cdot 5}
(211)5 ? (55)5(2^{11})^5 ~ \boxed{?} ~ (5^5)^5
20485 < 312552048^5 ~ \boxed{<} ~ 3125^5

Problema 3. Ce cuvânt se obține aranjând crescător numerele: A=22222,A=2^{2^{222}}, E=22222,E=2^{222^2}, M=22222,M=2^{22^{22}}, T=2222.T=2^{22^2}.

Olimpiadă, etapa locală, Timiș, 2019, E.440
Soluție:

Cum toate cele 44 numere au aceeași bază, problema se reduce la a compara numerele: A=2222,A'=2^{222}, E=2222,E'=222^2, M=2222,M'=22^{22}, T=222.T'=22^2.

a) Evident, T<E.\boxed{T'< E'}.

b) Compar EE' ci M:M':
2222 ? 2222222^2 ~ \boxed{?} ~ 22^{22}
2222 ? (2211)2222^2 ~ \boxed{?} ~ (22^{11})^2
222 < 2211,222 ~ \boxed{<} ~ 22^{11}, deci E<M.\boxed{E' < M'}.

c) Compar MM' ci A:A':
2222 ? 222222^{22} ~ \boxed{?} ~ 2^{222}
2221122 ? 2222:2222^{22} \cdot 11^{22} ~ \boxed{?} ~ 2^{222} \quad |:2^{22}
1122 ? 2200.11^{22} ~ \boxed{?} ~ 2^{200}.

1122<1622=(24)22=288<2200.11^{22} < 16^{22} = (2^4)^{22} = 2^{88}< 2^{200}.
Deci 1122 < 2200M<A.11^{22} ~ \boxed{<} ~ 2^{200} \Rightarrow \boxed{M' < A'}.

În concluzie, T<E<M<A,T'<E'<M'<A', iar cuvântul cerut este TEMA.TEMA.

Problema 4. Comparați numerele naturale AA și B,B, unde A=326+325A=3^{26}+3^{25} și B=242+238.B=2^{42} + 2^{38}.

Daniela Stănică și Nicolae Stănică, Olimpiadă, etapa locală, Brăila, 2018, E.442
Soluție:

Compar AA cu B:B:
325(3+1) ? 238(24+1)3^{25}(3+1) ~ \boxed{?} ~ 2^{38}(2^4+1)
3254 ? 23817:223^{25} \cdot 4 ~ \boxed{?} ~ 2^{38} \cdot 17 \quad |:2^2
325 ? 23617.3^{25} ~ \boxed{?} ~ 2^{36} \cdot 17.

325=(35)5=2435<2565=(28)5=240=23624<23617.3^{25} = (3^5)^5 = 243^5 < 256^5 = (2^8)^5 = 2^{40} = 2^{36} \cdot 2^4 < 2^{36} \cdot 17.
Deci 325 < 23617A<B.3^{25} ~ \boxed{<} ~ 2^{36} \cdot 17 \Rightarrow \boxed{A<B}.

Problema 5. Comparați numerele aa și bb dacă a=52n+2n+1+2na=5 \cdot 2^n + 2^{n+1} + 2^n și b=3n+2+153n+3n+1.b=3^{n+2}+15 \cdot 3^n + 3^{n+1}.

Olimpiadă, etapa locală, Harghita, 2020, E.443
Soluție:

Comparăm aa cu b:b:
2n(5+2+1) ? 3n(32+15+3)2^n(5+2+1) ~ \boxed{?} ~ 3^n(3^2+15+3)
2n8 ? 3n272^n \cdot 8 ~ \boxed{?} ~ 3^n \cdot 27
2n23 ? 3n332^n \cdot 2^3 ~ \boxed{?} ~ 3^n \cdot 3^3
2n+3 < 3n+3,2^{n+3} ~ \boxed{<} ~ 3^{n+3}, deci a<b.\boxed{a<b}.

Problema 6. Determinați numărul natural n,n, astfel încât 33n+1+233n+327<329328.3^{3^n+1} + 2 \cdot 3^{3^n} + 3^{27} < 3^{29}-3^{28}.

Olimpiadă, etapa locală, Argeș, 2019; GM 10/2018, E.444
Soluție:

33n+1+233n<3293283273^{3^n+1} + 2 \cdot 3^{3^n} < 3^{29}-3^{28} - 3^{27}
33n(3+2)<327(3231):53^{3^n}(3+2) < 3^{27}(3^2 - 3 - 1) \quad |:5
33n<3273^{3^n} < 3^{27}
3n<27n{0,1,2}.\Rightarrow 3^n < 27 \Rightarrow \boxed{n \in \{0,1,2\}}.

Problema 7. Se dau numerele a=[232215:16+230:(25)445]3:82a=\big[2^{3^2} \cdot 2^{15} : 16 + 2^{30}:(2^5)^4 \cdot 4^5 \big]^3:8^2 și b=3+(3+32+33++337)2.b=3+(3+3^2+3^3+ \ldots + 3^{37}) \cdot 2. Comparați cele două numere.

Olimpiadă, etapa locală, Mureș, 2019, E.446
Soluție:

a=(29215:24+230:220210)3:(23)2=a=\big(2^{9} \cdot 2^{15} : 2^4 + 2^{30}:2^{20} \cdot 2^{10} \big)^3:(2^3)^2=
=(29+154+23020+20)3:26==\big(2^{9+15-4} + 2^{30-20+20}\big)^3:2^6=
=(220+220)3:26==\big(2^{20} + 2^{20}\big)^3:2^6=
=(2220)3:26==\big(2 \cdot 2^{20} \big)^3:2^6=
=(221)3:26==\big(2^{21} \big)^3:2^6=
=263:26a=257.=2^{63}:2^6 \Rightarrow \boxed{a=2^{57}}.

Calculăm separat suma S=3+32+33++337.S=3+3^2+3^3+ \ldots + 3^{37}.
Dupa înmulțire cu 3,3, suma devine: 3S=32+33+34++338.3S=3^2+3^3+3^4+ \ldots + 3^{38}.
După scăderea celor două relații obținem: 2S=3383,2S=3^{38}-3, deci S=(3383):2.S=\boxed{(3^{38}-3):2}.
b=3+S2=3+(3383)b=338.b=3+S \cdot 2 = 3 + (3^{38}-3) \Rightarrow \boxed{b=3^{38}}.

Comparăm aa cu bb:
2319 ? 32192^{3 \cdot 19} ~ \boxed{?} ~ 3^{2 \cdot 19}
(23)19 ? (32)19(2^3)^{19} ~ \boxed{?} ~ (3^2)^{19}
23 < 32,2^3 ~ \boxed{<} ~ 3^2, deci a<b.\boxed{a<b}.