Compararea puterilor

Tema 7

Lucian Maran, MateMaraton, 11-11-2024

Problema 1. Comparați numerele a=32018:9a=3^{2018}:9 și b=22018(2504:2)2.b=2^{2018} \cdot (2^{504}:2)^2.

Olimpiadă, etapa locală, Giurgiu, 2018, E.437

Problema 2. Arătați că 524:2<255<525.5^{24}:2 < 2^{55} < 5 ^{25}.

Olimpiadă, etapa locală, Olt, 2018, E.439

Problema 3. Ce cuvânt se obține aranjând crescător numerele: A=22222,A=2^{2^{222}}, E=22222,E=2^{222^2}, M=22222,M=2^{22^{22}}, T=2222.T=2^{22^2}.

Olimpiadă, etapa locală, Timiș, 2019, E.440

Răspuns: TEMA.TEMA.

Problema 4. Comparați numerele naturale AA și B,B, unde A=326+325A=3^{26}+3^{25} și B=242+238.B=2^{42} + 2^{38}.

Daniela Stănică și Nicolae Stănică, Olimpiadă, etapa locală, Brăila, 2018, E.442

Răspuns: A<B.A<B.

Problema 5. Comparați numerele aa și bb dacă a=52n+2n+1+2na=5 \cdot 2^n + 2^{n+1} + 2^n și b=3n+2+153n+3n+1.b=3^{n+2}+15 \cdot 3^n + 3^{n+1}.

Olimpiadă, etapa locală, Harghita, 2020, E.443

Răspuns: a<b.a<b.

Problema 6. Determinați numărul natural n,n, astfel încât 33n+1+233n+327<329328.3^{3^n+1} + 2 \cdot 3^{3^n} + 3^{27} < 3^{29}-3^{28}.

Olimpiadă, etapa locală, Argeș, 2019; GM 10/2018, E.444

Răspuns: n{0,1,2}.n \in \{0,1,2\}.

Problema 7. Se dau numerele a=[232215:16+230:(25)445]3:82a=\big[2^{3^2} \cdot 2^{15} : 16 + 2^{30}:(2^5)^4 \cdot 4^5 \big]^3:8^2 și b=3+(3+32+33++337)2.b=3+(3+3^2+3^3+ \ldots + 3^{37}) \cdot 2. Comparați cele două numere.

Olimpiadă, etapa locală, Mureș, 2019, E.446

Răspuns: a<b.a<b.