Teorema împărțirii cu rest (TIR)

Curs 6

Lucian Maran, MateMaraton, 25-10-2024

Problema 1. Suma resturilor obținute prin împărtirea numerelor 1,2,3,…,n1,2,3, \ldots,n la 77 este egală cu 652.652. Determinați numărul n.n.

Olimpiadă, etapa locală, Mehedinți, 2020, E.339
Soluție:
n=1=0⋅7+1n=2=0⋅7+2...n=6=0⋅7+6n=7=1⋅7+0}⇒grupa 1, suma resturilor = 1+2+…+6=21 \begin{rcases} n=1 = 0 \cdot 7 + 1 \\ n=2 = 0 \cdot 7 + 2 \\ ... \\ n=6 = 0 \cdot 7 + 6 \\ n=7 = 1 \cdot 7 + 0 \\ \end{rcases} \Rightarrow \text {grupa 1, suma resturilor = 1+2+\ldots+6=21}
n=8=1⋅7+1n=9=1⋅7+2...n=12=1⋅7+6n=13=2⋅7+0}⇒grupa 2, suma resturilor = 21 \begin{rcases} n=8 = 1 \cdot 7 + 1 \\ n=9 = 1 \cdot 7 + 2 \\ ... \\ n=12 = 1 \cdot 7 + 6 \\ n=13 = 2 \cdot 7 + 0 \\ \end{rcases} \Rightarrow \text {grupa 2, suma resturilor = 21}

...

Observăm că suma resturilor se repetă din 77 în 7.7. Cum 652=21⋅31+1,652 = 21 \cdot 31 + 1, înseamnă că pentru a ajunge la 652652 vom avea nevoie de 3131 grupe de câte 77 numere. Ultima grupă completă va fi:

n=211=30⋅7+1n=212=30⋅7+2...n=216=30⋅7+6n=217=31⋅7+0}⇒grupa 31, suma resturilor = 21 \begin{rcases} n=211 = 30 \cdot 7 + 1 \\ n=212 = 30 \cdot 7 + 2 \\ ... \\ n=216 = 30 \cdot 7 + 6 \\ n=217 = 31 \cdot 7 + 0 \\ \end{rcases} \Rightarrow \text {grupa 31, suma resturilor = 21}

Până în acest moment avem suma resturilor egală cu 21⋅31=651.21 \cdot 31 = 651. Pentru a ajunge la 652652 mai trebuie să adăugăm un număr:

n=218=31⋅7+1.n=218 = 31 \cdot 7 + 1. Deci răspunsul final este n=218.\boxed{n=218}.

Problema 2. Dacă numerele naturale a,b,c,da,b,c,d satisfac relațiile a+b=c+d=b+c+1=21,a+b=c+d=b+c+1=21, calculați restul împărțirii numărului a+10b+11c+2da+10b+11c+2d la a+d.a+d.

Model subiect olimpiadă, GM, 2021, E.346
Soluție:

Din ipoteză avem:

  • a+b=21a+b=21 \quad (1)
  • c+d=21c+d=21 \quad (2)
  • b+c=20.b+c=20.

Vom încerca să rescriem enunțul astfel încât să ne apară aceste sume:
a+10b+11c+2d=a+10b+11c+2d =
=(a+b)+(9b+9c)+(2c+2d)==(a+b) + (9b+9c) + (2c+2d)=
=(a+b)+9(b+c)+2(c+d)==(a+b) + 9(b+c) + 2(c+d)=
=21+9⋅20+2⋅21=243.=21 + 9 \cdot 20 + 2 \cdot 21 = 243. Deci a+10b+11c+2d=243.\boxed{a+10b+11c+2d = 243}.

Din (1) + (2) obținem (a+d)+(b+c)=42⇒a+d=22.(a+d) + (b+c) = 42 \Rightarrow \boxed {a+d=22}.

Așadar, (a+10b+11c+2d):(a+d)=243:22=11,(a+10b+11c+2d):(a+d) = 243:22=11, rest 1.1.

Problema 3. Determinați numerele naturale nn care prin împărțire la 1313 dau câtul de 55 ori mai mare decât restul și prin împărțire la 1919 dau câtul de 4 ori mai mare decât restul.

Olimpiadă, etapa locală, Vâlcea, 2020, E.347
Victor Săceanu, GM 10/2019
Soluție:
{n=13⋅(5⋅R1)+R1, cu R1<13n=19⋅(4⋅R2)+R2, cu R2<19 \begin{cases} n=13\cdot(5 \cdot R_1) + R_1, \text{ cu } R_1<13 \\ n=19\cdot(4 \cdot R_2) + R_2, \text{ cu } R_2<19 \\ \end{cases}
{n=(13⋅5+1)⋅R1=66R1n=(19⋅4+1)⋅R2=77R2 \begin{cases} n=(13\cdot 5+1) \cdot R_1 = 66R_1 \\ n=(19\cdot 4+1) \cdot R_2 = 77R_2 \end{cases}

Deci 66R1=77R2,66R_1 = 77R_2, sau 6R1=7R2.\boxed{6R_1 = 7R_2}.
Cum R1R_1 este un multiplu de 77 și R1<13⇒R1∈{0,7}.R_1<13 \Rightarrow R_1 \in \{0, 7\}.

  • R1=0⇒n=66⋅0=0;R_1=0 \Rightarrow n=66 \cdot 0 = 0;
  • R7=0⇒n=66⋅7=462.R_7=0 \Rightarrow n=66 \cdot 7 = 462.

Așadar, n∈{0;462}.\boxed{n \in \{0; 462\}}.

Problema 4. Determinați numerele naturale n=ab‾,n=\overline{ab}, știind că prin împărțire la 44 dau restul 11 și prin împărțire la 33 dau restul 2.2.

Olimpiadă, etapa locală, Brăila, 2020, E.348
Vasile Scurtu
Soluție:
{ab‾=4⋅C1+1∣⋅3ab‾=3⋅C2+2∣⋅4 \begin{cases} \overline{ab} = 4 \cdot C_1+1 \quad | \cdot 3 \\ \overline{ab} = 3 \cdot C_2+2 \quad | \cdot 4 \end{cases}
{3⋅ab‾=12⋅C1+34⋅ab‾=12⋅C2+8 \begin{cases} 3 \cdot\overline{ab} = 12 \cdot C_1+3 \\ 4 \cdot \overline{ab} = 12 \cdot C_2+8 \end{cases}

Prin scădere obținem ab‾=12(C2−C1)+5.\overline{ab} = 12(C_2-C_1)+5. Cum ab‾\overline{ab} are două cifre, avem cazurile:

  • C2−C1=1⇒ab‾=12⋅1+5=17;C_2-C_1=1 \Rightarrow \overline{ab}=12 \cdot 1 + 5 = 17;
  • C2−C2=1⇒ab‾=12⋅2+5=29;C_2-C_2=1 \Rightarrow \overline{ab}=12 \cdot 2 + 5 = 29;
  • ...
  • C2−C1=7⇒ab‾=12⋅7+5=89;C_2-C_1=7 \Rightarrow \overline{ab}=12 \cdot 7 + 5 = 89;

Așadar, ab‾∈{17,29,41,53,65,77,89}.\boxed{\overline{ab} \in \{17,29,41,53,65,77,89 \}}.

Problema 5. Aflați câtul și restul împărțirii numărului 101!−1101!-1 la 2020.2020.

Art, Matematică pentru excelență, 9/20, E.356
Soluție:

101!−1=101!-1 =
=99!⋅100⋅101−1== 99! \cdot 100 \cdot 101 - 1 =
=99!⋅5⋅20⋅101−1== 99! \cdot 5 \cdot 20 \cdot 101 - 1 =
=99!⋅5⋅2020−2020+2020−1== 99! \cdot 5 \cdot 2020 - 2020 + 2020 -1 =
=2020(99!⋅5−1)+2019.= 2020(99! \cdot 5 - 1) + 2019.

Deci câtul este 99!⋅5−1,99! \cdot 5 - 1, iar restul este 2019.2019.