Observăm că suma resturilor se repetă din 7 în 7. Cum 652=21⋅31+1, înseamnă că pentru a ajunge la 652 vom avea nevoie de 31 grupe de câte 7 numere. Ultima grupă completă va fi:
Până în acest moment avem suma resturilor egală cu 21⋅31=651. Pentru a ajunge la 652 mai trebuie să adăugăm un număr:
n=218=31⋅7+1. Deci răspunsul final este n=218.
Problema 2. Dacă numerele naturale a,b,c,d satisfac relațiile a+b=c+d=b+c+1=21, calculați restul împărțirii numărului a+10b+11c+2d la a+d.
Model subiect olimpiadă, GM, 2021, E.346
Soluție:
Din ipoteză avem:
a+b=21 (1)
c+d=21 (2)
b+c=20.
Vom încerca să rescriem enunțul astfel încât să ne apară aceste sume: a+10b+11c+2d= =(a+b)+(9b+9c)+(2c+2d)= =(a+b)+9(b+c)+2(c+d)= =21+9⋅20+2⋅21=243. Deci a+10b+11c+2d=243.
Din (1) + (2) obținem (a+d)+(b+c)=42⇒a+d=22.
Așadar, (a+10b+11c+2d):(a+d)=243:22=11, rest 1.
Problema 3. Determinați numerele naturale n care prin împărțire la 13 dau câtul de 5 ori mai mare decât restul și prin împărțire la 19 dau câtul de 4 ori mai mare decât restul.
Olimpiadă, etapa locală, Vâlcea, 2020, E.347
Victor Săceanu, GM 10/2019
Soluție:
{n=13⋅(5⋅R1)+R1, cu R1<13n=19⋅(4⋅R2)+R2, cu R2<19{n=(13⋅5+1)⋅R1=66R1n=(19⋅4+1)⋅R2=77R2
Deci 66R1=77R2, sau 6R1=7R2.
Cum R1 este un multiplu de 7 și R1<13⇒R1∈{0,7}.
R1=0⇒n=66⋅0=0;
R7=0⇒n=66⋅7=462.
Așadar, n∈{0;462}.
Problema 4. Determinați numerele naturale n=ab, știind că prin împărțire la 4 dau restul 1 și prin împărțire la 3 dau restul 2.