Teorema împărțirii cu rest (TIR)

Curs 6

Lucian Maran, MateMaraton, 25-10-2024

Problema 1. Suma resturilor obținute prin împărtirea numerelor 1,2,3,,n1,2,3, \ldots,n la 77 este egală cu 652.652. Determinați numărul n.n.

Olimpiadă, etapa locală, Mehedinți, 2020, E.339

Răspuns: n=218.n=218.

Problema 2. Dacă numerele naturale a,b,c,da,b,c,d satisfac relațiile a+b=c+d=b+c+1=21,a+b=c+d=b+c+1=21, calculați restul împărțirii numărului a+10b+11c+2da+10b+11c+2d la a+d.a+d.

Model subiect olimpiadă, GM, 2021, E.346

Răspuns: 1.1.

Problema 3. Determinați numerele naturale nn care prin împărțire la 1313 dau câtul de 55 ori mai mare decât restul și prin împărțire la 1919 dau câtul de 4 ori mai mare decât restul.

Olimpiadă, etapa locală, Vâlcea, 2020, E.347
Victor Săceanu, GM 10/2019

Răspuns: n{0;462}.n\in \{0; 462\}.

Problema 4. Determinați numerele naturale n=ab,n=\overline{ab}, știind că prin împărțire la 44 dau restul 11 și prin împărțire la 33 dau restul 2.2.

Olimpiadă, etapa locală, Brăila, 2020, E.348
Vasile Scurtu

Răspuns: ab{17,29,41,53,65,77,89}.\overline{ab}\in \{17,29,41,53,65,77,89 \}.

Problema 5. Aflați câtul și restul împărțirii numărului 101!1101!-1 la 2020.2020.

Art, Matematică pentru excelență, 9/20, E.356

Răspuns: Câtul este 99!51;99! \cdot 5 - 1; restul este 2019.2019.