Teorema împărțirii cu rest (TIR)

Tema 5

Lucian Maran, 21-10-2024

Problema 1. Fie numărul X=1!+2!+3!+…+2024!.X=1!+2!+3!+ \ldots + 2024!. Calculați restul împărțirii lui XX la 10.10.

Test de selecție, Centrul județean de excelență Timiș, octombrie 2024, E.336
Soluție:

Restul împărțirii unui număr la 1010 este egal cu ultima cifră a respectivului număr.

Începând cu 5!5!, toate numerele conțin factorii 2 și 5, deci au ultima cifră 0.0.
Uc(S)=Uc(1!)+Uc(2!)+Uc(3!)+Uc(4!)+Uc(5!)+…+Uc(2024!)=U_c(S) = U_c(1!)+U_c(2!)+U_c(3!)+U_c(4!)+U_c(5!)+\ldots +U_c(2024!)=
=Uc(1)+Uc(2)+Uc(6)+Uc(24)+0+…+0==U_c(1)+U_c(2)+U_c(6)+U_c(24)+0+\ldots +0=
=Uc(1+2+6+4)=3.=U_c(1+2+6+4) = 3.

Problema 2. Calculațiu restul împărțirii numărului abcd‾+bcda‾+cdab‾+dabc‾\overline{abcd} + \overline{bcda} + \overline{cdab} + \overline{dabc} la 11.11.

Test de selecție, Centrul județean de excelență Timiș, octombrie 2024, E.343
Soluție:

abcd‾+bcda‾+cdab‾+dabc‾=\overline{abcd} + \overline{bcda} + \overline{cdab} + \overline{dabc}=
=1111a+1111b+1111c+1111d=11⋅101⋅(a+b+c+d)=1111a+1111b+1111c+1111d =11 \cdot 101 \cdot (a+b+c+d)
Numărul dat se împarte exact la 11,11, deci restul cerut este 0.0.

Problema 3. Calculați restul obținut prin împărțirea numărului N=1⋅2⋅3⋅…⋅20+2021N=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 20 + 2021 la 21.21.

Model subiect olimpiadă, GM, 2021, E.335
Soluție:

Încercăm să scriem ambii termeni ai sumei sub forma unui produs la care unul din factori să fie 21:21:
N=1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6⋅7⋅8⋅…⋅20+21⋅96+5=N=1 \cdot 2 \cdot \boxed{3}\cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot \boxed{7} \cdot 8 \cdot \ldots \cdot 20 + \boxed{21} \cdot 96 + 5=
=21(1⋅2⋅4⋅5⋅6⋅8⋅…⋅20+96)+5.=21(1 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \ldots \cdot 20 + 96) + 5. Conform TIR, restul cerut este 5.5.

Problema 4. Fie numerele a=1⋅2⋅3⋅…⋅2019a=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 2019 și b=1+9+17+…+2017.b=1+9+17+ \ldots +2017. Determinați resturile împărțirilor nummerelor a,a, rerspectiv bb la 2018.2018.

Olimpiadă, etapa locală, Dolj, 2019, E.338
Soluție:

a=1⋅2⋅3⋅…⋅2018⋅2019.a=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot \boxed{2018} \cdot 2019.
Cum unul dintre factori este 20182018 înseamnă că aa se împarte exact la 2018.2018. Deci restul cerut este 0.0.

b=(8⋅0+1)+(8⋅1+1)+(8⋅2+1)+…+(8⋅252+1)=b=(8 \cdot 0 +1) + (8 \cdot 1 +1) + (8 \cdot 2 +1) + \ldots + (8 \cdot 252 +1)=
8(1+2+3+…+252)+253=8(1+2+3+ \ldots + 252) + 253 =
=8⋅252⋅253:2+253==8 \cdot 252 \cdot 253 : 2 + 253 =
=253(4⋅252+1)=255277=126⋅2018+1009.=253(4 \cdot 252 + 1) = 255277 = 126 \cdot 2018 + 1009. Deci restul cerut este 1009.1009.

Metoda 2
b=(8⋅0+1)+(8⋅1+1)+(8⋅2+1)+…+(8⋅252+1).b=(8 \cdot 0 +1) + (8 \cdot 1 +1) + (8 \cdot 2 +1) + \ldots + (8 \cdot 252 +1).
bb are un număr impar de termeni (adică 253253), iar termenul din mijloc este 8⋅126+1=1009.8 \cdot 126 +1 = 1009. Așadar,
b=(1+2017)+(2+2016)+…⏟126 perechi+1009=b = \underbrace{(1+2017) + (2+2016) + \ldots }_{\text{126 perechi}} + 1009=
=126⋅2018+1009.=126 \cdot 2018 + 1009. Deci restul cerut este 1009.1009.

Problema 5. a) Calculațiu restul împărțirii numărului 57⋅806+10057 \cdot 806 + 100 la 57.57.
b) Calculațiu restul împărțirii numărului 57⋅806−10057 \cdot 806 - 100 la 57.57.

Test de selecție, Centrul județean de excelență Timiș, octombrie 2023 (adaptare), E.344
Soluție:

a) 57⋅806+100=57 \cdot 806 + 100 =
=57⋅806+57+43== 57 \cdot 806 + 57 + 43 =
=57(806+1)+43.= 57(806+1) + 43. Deci restul este 43;43;

b) 57⋅806−100=57 \cdot 806 - 100 =
=57(804+2)−100==57(804+2) - 100 =
=57⋅804+57⋅2−100== 57 \cdot 804 + 57 \cdot 2 - 100 =
=57⋅804+14.= 57 \cdot 804 + 14. Deci restul este 14.14.

Problema 6. Aflați suma numerelor naturale care împărțite la 55 dau câtul egal cu cubul restului.
Notă. Prin cubul unui număr natural nn înțelegem n3,n^3, adică n⋅ n⋅n.n \cdot\ n \cdot n. De exemplu, cubul lui 22 este 88.

Model subiect olimpiadă, GM, 2021, E.345
Soluție:

Dacă împărtitorul este 5,5, putem avea doar următoarele resturi:

  • R1=0⇒C1=03=0⇒N1=5⋅0+0=0;R_1=0 \Rightarrow C_1=0^3=0 \Rightarrow N_1=5 \cdot 0 + 0 = 0;
  • R2=1⇒C2=13=1⇒N2=5⋅1+1=6;R_2=1 \Rightarrow C_2=1^3=1 \Rightarrow N_2=5 \cdot 1 + 1 = 6;
  • R3=2⇒C3=23=8⇒N3=5⋅8+2=42;R_3=2 \Rightarrow C_3=2^3=8 \Rightarrow N_3=5 \cdot 8 + 2 = 42;
  • R4=3⇒C4=33=27⇒N4=5⋅27+3=138;R_4=3 \Rightarrow C_4=3^3=27 \Rightarrow N_4=5 \cdot 27 + 3 = 138;
  • R5=4⇒C5=43=64⇒N5=5⋅64+4=324.R_5=4 \Rightarrow C_5=4^3=64 \Rightarrow N_5=5 \cdot 64 + 4 = 324.

S=0+6+42+138+324=510.S=0+6+42+138+324 = 510.