Teorema împărțirii cu rest (TIR)

Tema 5

Lucian Maran, 21-10-2024

Problema 1. Fie numărul X=1!+2!+3!+…+2024!.X=1!+2!+3!+ \ldots + 2024!. Calculați restul împărțirii lui XX la 10.10.

Test de selecție, Centrul județean de excelență Timiș, octombrie 2024, E.336

Indicația 1: Restul împărțirii unui număr la 1010 este egal cu ultima cifră a respectivului număr.

Indicația 2: Începând cu 5!5!, toate numerele conțin factorii 2 și 5, deci au ultima cifră 0.0.

Răspuns: 3.3.

Problema 2. Calculațiu restul împărțirii numărului abcd‾+bcda‾+cdab‾+dabc‾\overline{abcd} + \overline{bcda} + \overline{cdab} + \overline{dabc} la 11.11.

Test de selecție, Centrul județean de excelență Timiș, octombrie 2024, E.343

Răspuns: 0.0.

Problema 3. Calculați restul obținut prin împărțirea numărului N=1⋅2⋅3⋅…⋅20+2021N=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 20 + 2021 la 21.21.

Model subiect olimpiadă, GM, 2021, E.335

Indicația 1: Încercăm să scriem ambii termeni ai sumei sub forma unui produs la care unul din factori să fie 21.21.

Indicația 2: N=1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6⋅7⋅8⋅…⋅20+21⋅96+5.N=1 \cdot 2 \cdot \boxed{3}\cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot \boxed{7} \cdot 8 \cdot \ldots \cdot 20 + \boxed{21} \cdot 96 + 5.

Răspuns: 5.5.

Problema 4. Fie numerele a=1⋅2⋅3⋅…⋅2019a=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 2019 și b=1+9+17+…+2017.b=1+9+17+ \ldots +2017. Determinați resturile împărțirilor nummerelor a,a, rerspectiv bb la 2018.2018.

Olimpiadă, etapa locală, Dolj, 2019, E.338

Indicații: bb are un număr impar de termeni (adică 253253), iar termenul din mijloc este 8⋅126+1=1009.8 \cdot 126 +1 = 1009. Grupăm primul cu ultimul, al 2-lea cu penultimul etc.

Răspuns: 00, respectiv 1009.1009.

Problema 5. a) Calculațiu restul împărțirii numărului 57⋅806+10057 \cdot 806 + 100 la 57.57.
b) Calculațiu restul împărțirii numărului 57⋅806−10057 \cdot 806 - 100 la 57.57.

Test de selecție, Centrul județean de excelență Timiș, octombrie 2023 (adaptare), E.344

Răspuns: a) 43;43; b) 14.14.

Problema 6. Aflați suma numerelor naturale care împărțite la 55 dau câtul egal cu cubul restului.
Notă. Prin cubul unui număr natural nn înțelegem n3,n^3, adică n⋅ n⋅n.n \cdot\ n \cdot n. De exemplu, cubul lui 22 este 88.

Model subiect olimpiadă, GM, 2021, E.345

Indicații: Dacă împărtitorul este 5,5, putem avea doar resturile 0,1,2,3,4.0,1,2,3,4.

Răspuns: 510.510.