Notăm cu $a$ vârsta lui Albă-ca-Zapada.
$a+\underbrace{a+1+a+2+ \ldots + a+7}_{\text{vârstele ceelor 7 pitici}} = 172.$

$8a + \dfrac{7 \cdot 8}{2} = 172 \Rightarrow \boxed{a=18} \Rightarrow S_{pitici}=172-a=154.$

Metoda 1 (prin grupare de termeni)
$S=(5-4) + (9-8) + (13-12)+ \ldots + (301-300).$
În total avem $71$ de perechi (metoda contorului), deci $S=71 \cdot 1 = 75.$

Metoda 2 (prin calcularea sumelor)
$S = (5+9+13+ \ldots + 301) - (4+8+12+ \ldots +300).$ Calculam separat cele două sume:
$S_1=(4\cdot 1+1) + (4\cdot 2+1) + \ldots + (4\cdot 75+1) = 4(1+2+\ldots+75) + 75 = 75\cdot 76 \cdot 2 +75.$
$S_2= 4(1+2+\ldots+75) + 75 = 75\cdot 76 \cdot 2.$
Așadar, $S=S_1-S_2 = 75.$

Notăm cele $8$ numere inițiale cu $x, x+1, x+2, \ldots, x+7.$ Suma acestora este
$x + x+1+x+2+ \ldots + x+7 = 8x+28.$

Observăm că la fiecare mutare, această suma crește cu $7.$ După $30$ de mutări, suma va crește cu $30\cdot 7=210.$ Așadar, după $30$ de mutări vom avea:
$(8x+28) + 210 = 270.$
$8x=32 \Rightarrow \boxed{x=4}.$ Deci numerele căutate sunt: $4,5,6,\ldots, 11.$

$A=(10-1) + (100-1) + \ldots + (1\underbrace{00\ldots0}_{\text{100 de 0}}-1)=$
$=(10+100+\ldots+1\underbrace{00\ldots0}_{\text{100 de 0}})-100=$
$=1\underbrace{11\ldots1}_{\text{100 de 1}}0-100 =\underbrace{11\ldots1}_{\text{98 de 1}}010.$

a) $a+5(b-c) = (a+3b) + (2b-5c) = 27+9=36.$
b) $a+b+5c = (a+3b) - (2b-5c) = 27-9=18.$
c) $3a+7b+5c = 3(a+3b) - (2b-5c) = 3\cdot 27-9=72.$

a) Din $\overline{2ab}+\overline{ab3}=830$ rezultă $\boxed{b=7}.$
$\overline{2a7}+\overline{a73}=830 \Rightarrow \boxed{a=5}.$

b) Din $\overline{ab3}+\overline{a5c}+\overline{7bc}=1243$ rezultă că $c+c$ se termină în $0$, deci $\boxed{c=5}.$
$\overline{ab3}+\overline{a55}+\overline{7b5}=1243.$ De aici rezultă că $b+b$ se termină în $8$, deci $\boxed{b=4}.$
$\overline{a43}+\overline{a55}+745=1243.$
$\overline{a43}+\overline{a55}+745=498,$ rezultă $\boxed{a=2}.$