Recapitulare pentru testul inițial (geometrie)

Tema 2

Lucian Maran, 22-09-2024

Problema 1. Se consideră un triunghi isoscel ABCABC cu BAC^=120°\widehat{BAC}=120\degree și BC=6BC=6 cm.
a) Arătați că AB=23AB=2\sqrt{3} cm.
b) Calculați distanța de la punctul BB la dreapta AC.AC.

Art, Test evaluare finală cls.7, 6/139, E.288
Soluție:

a) Construim AD⊥AC⇒A1^=A2^=60°AD \perp AC \Rightarrow \widehat{A_1}=\widehat{A_2}=60\degree și BD=3BD=3 cm. În triunghiul ABD,AB=BDsin⁡A1=23.ABD, AB = \dfrac{BD}{\sin {A_1}} = 2\sqrt{3}.

b) Fie EE piciorul perpendicularei din BB pe AC.AC. În triunghiul BCE, C^=30°⇒BE=BC2=3 cm.BCE,~ \widehat{C}=30\degree \Rightarrow \boxed{BE=\dfrac{BC}{2}=3 \text{ cm}}.

Problema 2. Dreptunghiul ABCDABCD are AB=4AB=4 cm și BD=6BD=6 cm. Perpendiculara din punctul AA pe dreapta BDBD intersectează dreapta CDCD în punctul EE.
a) Calculați valoarea sinusului unghiului DBC.DBC.
b) Calculați lungimea segmentului DE.DE.

Art, Test evaluare finală cls.7, 6/138, E.289
Soluție:

a) sin⁡B1^=DCDB=23.\sin{\widehat{B_1}} = \dfrac{DC}{DB}=\dfrac{2}{3}.

b) Din triunghiul ABDABD obținem AD=25.AD=2\sqrt{5}. Totodată, B1^=E1^\widehat{B_1}=\widehat{E_1} și A1^=D1^.\widehat{A_1}=\widehat{D_1}.
△DEA∼△CBD⇒DECB=DACD⇒DE=25⋅254=5\triangle DEA \sim \triangle CBD \Rightarrow \dfrac{DE}{CB} = \dfrac{DA}{CD} \Rightarrow DE=\dfrac{2\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{5}}{4} = 5 cm.

Problema 3. În rombul ABCDABCD se cunosc AB=8AB=8 cm și BAD^=60°.\widehat{BAD}=60\degree. Determinați:
a) Aria rombului ABCD;ABCD;
b) lungimea razei cercului înscris în romb.

Art, Test evaluare finală cls.7, 13/144, E.290
Soluție:

a) ABDABD echilateral ⇒BD=8⇒OD=4⇒OA=43⇒SABCD=AC⋅BD2=323\Rightarrow BD=8 \Rightarrow \boxed{OD=4} \Rightarrow \boxed{OA = 4\sqrt{3}} \Rightarrow S_{ABCD} = \dfrac{AC \cdot BD}{2}=32\sqrt{3} cm.

b) În triunghiul AOD, OE=OA⋅ODAD=23AOD,~ OE=\dfrac{OA \cdot OD}{AD} = 2\sqrt{3} cm.

Problema 4. În triunghiul dreptunghic ABCABC, A^=90°,\widehat{A}=90\degree, se știe că AB+AC=3+26AB+AC=\sqrt{3}+2\sqrt{6} și tg⁡B=22.\tg{B}=2\sqrt{2}. Determimnați:
a) perimetrul triunghiului ABC;ABC;
b) lungimea razei cercului înscris în triunghiul ABC.ABC.

Art, Test evaluare finală cls.7, 13/145, E.291
Soluție:

a)

bc=22b+c=3+26}⇒a=33, a=33, b=26, c=3, deci P=23(2+2). \begin{rcases} \dfrac{b}{c} = 2\sqrt{2} \\ b+c=\sqrt{3}+2\sqrt{6} \end{rcases} \Rightarrow \boxed{a=3\sqrt{3}},~ \boxed{a=3\sqrt{3}}, ~\boxed{b=2\sqrt{6}}, ~\boxed{c=\sqrt{3}}, \text{ deci } \boxed{P=2\sqrt{3}(2+\sqrt{2})}.
b) SABC=SAIB+SBIC+SCIA.S_{ABC} = S_{AIB} + S_{BIC} + S_{CIA}.

b⋅c2=r2(a+b+c)⇒r=6−3.\dfrac{b \cdot c}{2} = \dfrac{r}{2}(a+b+c) \Rightarrow \boxed{r=\sqrt{6}-\sqrt{3}}.