Recapitulare pentru testul inițial (geometrie)

Temă individuală

Lucian Maran, matemaraton.ro, 21-09-2024

Problema 1. În figura alăturată este reprezentat triunghiul isoscel ABCABC cu AB=AC.AB=AC. Înălțimea din vârful AA intersectează latura BCBC în punctul DD și AD=BC.AD=BC. Înălțimea din vârful BB intersectează latura ACAC în punctul E.E. Înălțimile ADAD și BEBE se intersectează în punctul H.H.
(2p) a) Arată că unghiurile DACDAC și EBCEBC au aceeași măsură.
(3p) b) Demonstrează că AH⋅HD=3.AH \cdot HD = 3.

Examen EN, 2024, E.284
Soluție:

a) A1^=90°−C^, B1^=90°−C^⇒A1^=B1^.\widehat{A_1}=90\degree - \widehat{C},~\widehat{B_1}=90\degree - \widehat{C} \Rightarrow \boxed{\widehat{A_1}=\widehat{B_1}}.

b) △BHD∼△ACD⇒HDCD=BDAD\triangle BHD \sim \triangle ACD \Rightarrow\dfrac{HD}{CD} = \dfrac{BD}{AD}

Cum CD=BD=BC2=AD2,CD=BD=\dfrac{BC}{2} = \dfrac{AD}{2}, egalitatea de mai sus devine HD=AD4,HD = \dfrac{AD}{4}, adică AH⋅HD=3.\boxed{AH \cdot HD = 3}.

Problema 2. În figura alăturată este reprezentat cercul de centru O,O, în care CDCD este diametru. Punctul BB aparține cercului astfel încât dreptele BOBO și CDCD sunt perpendiculare. Punctul MM aparține arcului mic BC,BC, dreptele DMDM și BOBO se intersectează în punctul N, DN=2⋅MNN, ~DN = 2 \cdot MN și MN=4MN = 4 cm.
(2p) a) Arată că măsura unghiului CMDCMD este egală cu 90°.90\degree.
(3p) b) Calculează aria triunghiului DON.DON.

Examen EN, 2024, E.285
Soluție:


a) M^=CD⏠2=90°.\widehat{M}=\dfrac{\overgroup{CD}}{2}=90\degree.

b) Din MN=4MN = 4 și DN=2⋅MNDN = 2 \cdot MN rezultă DN=8.DN=8.
△DON∼△DMC (U.U.)⇒DODM=DNDC,\triangle DON \sim \triangle DMC ~(U.U.) \Rightarrow \dfrac{DO}{DM} = \dfrac{DN}{DC}, adică DO12=82⋅DO⇒DO=43.\dfrac{DO}{12} = \dfrac{8}{2 \cdot DO} \Rightarrow \boxed{DO=4\sqrt{3}}.
În triunghiul DNO, NO2=DN2−DO2⇒NO=4.DNO,~NO^2=DN^2-DO^2 \Rightarrow \boxed{NO=4}.
Deci SDON=83.\boxed{S_{DON}=8\sqrt{3}}.

Problema 3. În figura alăturată este reprezentat trapezul dreptunghic ABCDABCD cu AB∥CDAB \parallel CD și BC=10BC =10 cm. Semidreapta BDBD este bisectoarea unghiului ABCABC și măsura unghiului ABDABD este egală cu 15°.15\degree.
(2p) a) Determină măsura unghiului BCDBCD.
(3p) b) Arată că AB−AD≤14AB - AD \leq 14 cm.

Examen EN, 2023, E.286
Soluție:


a) B^=30°⇒C^=360−180−30,\widehat{B} = 30\degree \Rightarrow \widehat{C}= 360-180-30, deci C^=150°.\boxed{\widehat{C}=150\degree}.

b) Din DC∥AB⇒D1^=B1^,DC \parallel AB \Rightarrow \widehat{D_1}=\widehat{B_1}, deci CD=CB=10CD=CB=10 cm.
Construim CE⊥AB.CE \perp AB. Cum B^=30°⇒CE=AD=5 cm\widehat{B}=30\degree \Rightarrow \boxed{CE=AD=5 ~\text{cm}} și BE=53 cm.\boxed{BE=5\sqrt{3} ~cm}.
AB−AD=5+53.AB-AD = 5+5\sqrt{3}.
5+53<14⇔53<9⇔75<815+5\sqrt{3} <14 \Leftrightarrow 5\sqrt{3} < 9 \Leftrightarrow 75 < 81 (adevărat).

Problema 4. În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul ABCDABCD cu AB=910AB = 9\sqrt{10} cm și AC=30AC=30 cm. Dreptele ACAC și BDBD se intersectează în punctul O,O, iar punctul MM este mijlocul segmentului CD.CD. Dreptele BCBC și AMAM se intersectează în punctul E,E, iar dreptele OEOE și CDCD se intersectează în punctul P.P.
(2p) a) Arată că aria dreptunghiului ABCDABCD este egală cu 270270 cm2.^2.
(3p) b) Arată că lungimea segmentului SPSP este egală cu 1010 cm, unde SS este punctul de intersecție a dreptelor AMAM și BD.BD.

Examen EN, 2023, E.287
Soluție:

a) BC2=AC2−AB2⇒BC=310⇒SABCD=270BC^2 = AC^2-AB^2 \Rightarrow BC=3\sqrt{10} \Rightarrow S_{ABCD} = 270 cm2.^2.

b) PP este centru de greutate al triunghiului ACE⇒MPMC=13.ACE \Rightarrow \dfrac{MP}{MC}=\dfrac{1}{3}.

SS este centru de greutate al triunghiului ACD⇒MSMA=13.ACD \Rightarrow \dfrac{MS}{MA}=\dfrac{1}{3}.

Deci △MSP∼△MAC⇒SPAC=MSMA=13⇒SP=10 cm.\triangle MSP \sim \triangle MAC \Rightarrow \dfrac{SP}{AC}= \dfrac{MS}{MA} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow \boxed{SP=10 \text{ cm}}.

Metoda 2:
△SMD∼△SAB⇒SMSA=MDAB=12\triangle SMD \sim \triangle SAB \Rightarrow \dfrac{SM}{SA} = \dfrac{MD}{AB} = \dfrac{1}{2}

△PMO∼△PCE⇒PMPC=OMEC=12\triangle PMO \sim \triangle PCE \Rightarrow \dfrac{PM}{PC} = \dfrac{OM}{EC} = \dfrac{1}{2}

De aici, continuarea este identică.