Divizibilitatea numerelor naturale. Proprietăți

Divizibilitatea numerelor naturale. Proprietăți

Nivel introductiv

E.692. Pe o tablă sunt scrise toate numerele naturale de la 11 la 100.100. Andrei și Ana șterg pe rând, începând cu Andrei, câte un număr. Pierde copilul care este obligat să șteargă primul un multiplu al lui 22 sau 5.5. Cine câștigă?

Art, 41/140, ****
Răspuns | Soluție

Răspuns: Ana câștigă.

Soluție:

De la 11 la 100100 avem:

  • 5050 de numere divizibile cu 22: (2,4,6,…,100);(2,4,6,\ldots, 100);
  • 1010 de numere divizibile cu 5,5, dar nu și cu 22: (5,15,25…,95);(5,15,25 \ldots, 95);
  • 1010 numere divizibile cu 55 și cu 22 (pe care le-am numărat deja).

Așadar, avem 50+10=6050+10=60 "numere rele" și 100−60=40100-60=40 "numere bune".
Având în vedere că Andrei șterge primul și 4040 este număr par, înseamnă că ultimul "număr bun" (al 4040-lea) va fi șters de Ana.
Cum la următoarea mutare Andrei este forțat să șteargă un "număr rău", înseamnă că jocul va fi câștigat de Ana.

E.693. Fiecare număr din șirul 2,3,4,…,502,3,4,\ldots,50 se colorează cu câte o culoare, respectând regula: dacă un număr are o anumită culoare, atunci orice divizor al său are aceeași culoare. Care este numărul maxim de culori care pot fi utilizate?

ONM 2012
Art, Matematică pentru excelență, 20/49
Răspuns | Soluție

Răspuns: 77 culori.

Soluție:

Colorăm cu albastru numărul 2.2. Orice număr par îl are pe 22 ca divizor, deci toate numerele pare de la 22 la 5050 sunt albastre.
Dacă xx este un număr impar, cu x≤25,x \leq 25, atunci 2≤2x≤50,2\leq 2x \leq 50, deci 2x2x este albastru. Cum xx este un divizor al lui 2x,2x, înseamnă că și xx va fi albastru.

Mai rămân de analizat numerele impare mai mari decât 25.25. Acestea pot fi:

  • Numere compuse: 27,33,35,39,45,4927,33,35,39, 45, 49 - au un divizor albastru, deci vor fi albastre.
  • Numere prime: 29,31,37,41,43,4729, 31,37,41,43,47 - nu au niciun divizor mai mic sau egal cu 50,50, deci pot avea culori diferite.

Așadar, numărul maxim de culori este 1+6=7.1+6=7.