Exercițiul 692

E.692. Pe o tablă sunt scrise toate numerele naturale de la 11 la 100.100. Andrei și Ana șterg pe rând, începând cu Andrei, câte un număr. Pierde copilul care este obligat să șteargă primul un multiplu al lui 22 sau 5.5. Cine câștigă?

Art, 41/140, ****
Răspuns | Soluție

Răspuns: Ana câștigă.

Soluție:

De la 11 la 100100 avem:

  • 5050 de numere divizibile cu 22: (2,4,6,…,100);(2,4,6,\ldots, 100);
  • 1010 de numere divizibile cu 5,5, dar nu și cu 22: (5,15,25…,95);(5,15,25 \ldots, 95);
  • 1010 numere divizibile cu 55 și cu 22 (pe care le-am numărat deja).

Așadar, avem 50+10=6050+10=60 "numere rele" și 100−60=40100-60=40 "numere bune".
Având în vedere că Andrei șterge primul și 4040 este număr par, înseamnă că ultimul "număr bun" (al 4040-lea) va fi șters de Ana.
Cum la următoarea mutare Andrei este forțat să șteargă un "număr rău", înseamnă că jocul va fi câștigat de Ana.