Unghiuri în jurul unui punct (generate după o regulă)

Unghiuri în jurul unui punct (generate după o regulă)

Nivel introductiv

E.282. În jurul punctului OO se consideră 99 unghiuri: ∡A0OA1=x°,\measuredangle A_0OA_1=x\degree, ∡A1OA2=(2x+1)°, ∡A2OA3=(3x+2)°,…,∡A7OA8=(8x+7)°\measuredangle A_1OA_2=(2x+1)\degree, ~\measuredangle A_2OA_3=(3x+2)\degree, \ldots, \measuredangle A_7OA_8=(8x+7)\degree și ∡A8OA0=(9x−n)°\measuredangle A_8OA_0=(9x-n)\degree, unde xx și nn sunt numere naturale nenule. Determinați măsurile celor 99 unghiuri.

Olimpiadă, etapa locală, Argeș, Galați și Vâlcea, 2020
Traian Preda, GM, 12/2019
Răspuns | Soluție

Răspuns: x=8,n=28x=8, n=28 și x=9,n=73.x=9, n=73.

Soluție:

∡A0OA1=x,\measuredangle A_0OA_1 = x,
∡A1OA2=2x+1,\measuredangle A_1OA_2 = 2x+1,
∡A2OA3=3x+2,\measuredangle A_2OA_3 = 3x+2,
…\ldots
∡A7OA8=8x+7,\measuredangle A_7OA_8 = 8x+7,
∡A8OA0=9x−n.\measuredangle A_8OA_0 = 9x-n.

Însumate, aceste unghiuri fac 360°360 \degree, deci:
x(1+2+…+9)+(1+2+…+7)−n=360x(1+2+ \ldots +9) + (1+2+ \ldots +7) - n = 360
45x+28−n=36045x + 28 - n = 360
45x=332+n\boxed{45x = 332 + n}

n>0⇒45x>332⇒x≥8n>0 \Rightarrow 45x > 332 \Rightarrow \boxed{x \geq 8} \quad (1)

m(∡A8OA0)≥0⇒n≤9xm(\measuredangle A_8OA_0) \geq 0 \Rightarrow n \leq 9x
Deci 45x≤332+9x⇒36x≤332⇒x≤945x \leq 332 + 9x \Rightarrow 36x \leq 332 \Rightarrow \boxed{x \leq 9} \quad (2)

Din (1) și (2) ⇒x∈{8,9}.\Rightarrow x \in \{8, 9\}.

  • Pentru x=8⇒45⋅8=332+n⇒n=28\boxed{x=8} \Rightarrow 45 \cdot 8 = 332+n \Rightarrow \boxed{n=28}
  • Pentru x=9⇒45⋅9=332+n⇒n=73\boxed{x=9} \Rightarrow 45 \cdot 9 = 332+n \Rightarrow \boxed{n=73}

Prin înlocuire vom obține două seturi de unghiuri, câte unul pentru fiecare pereche (x,n)(x, n).

E.283. Fie ∡AOB, ∡BOC,…,∡HOA\measuredangle{AOB},~\measuredangle{BOC}, \ldots, \measuredangle{HOA} opt unghiuri în jurul punctului O,O, astfel încât m(∡AOB)=x°, m(∡BOC)=x°+6°, m(∡COD)=x°+2⋅6°, m(∡DOE)=x°+3⋅6°m(\measuredangle{AOB})=x\degree, ~m(\measuredangle{BOC})=x\degree + 6\degree, ~m(\measuredangle{COD})=x\degree + 2 \cdot 6\degree, ~m(\measuredangle{DOE})=x\degree + 3 \cdot 6\degree etc.
a) Aflați măsurile celor 88 unghiuri;
b) Arătați că unghiul BOHBOH este drept;
c) Arătați că punctele A, O, FA,~O,~F sunt coliniare.

Olimpiadă, etapa locală, Alba, 2020
Răspuns | Soluție

Răspuns: x=24°.x=24\degree.

Soluție:

a) x+(x+1⋅6)+(x+2⋅6)+…+(x+7⋅6)=360.x+(x+1\cdot 6) + (x+2\cdot 6) + \ldots + (x+7\cdot 6) =360.
8x+6(1+2+…+7)=360⇒x=24°.8x+6(1+2+ \ldots + 7) = 360 \Rightarrow \boxed{x=24 \degree}.

b) ∡BOH=∡BOC+∡COD+…+∡GOH=(x+1⋅6)+…+(x+6⋅6)=270°.\measuredangle{BOH} = \measuredangle{BOC} + \measuredangle{COD} + \ldots + \measuredangle{GOH} = (x+1\cdot 6) + \ldots + (x+6\cdot 6) = 270\degree. Deci ∡BOH=360−270=90°.\boxed{\measuredangle{BOH} = 360-270=90\degree}.

c) ∡AOF=∡AOB+∡BOC+…+∡EOF=x+(x+1⋅6)+…+(x+4⋅6)=180°.\measuredangle{AOF} = \measuredangle{AOB} + \measuredangle{BOC} + \ldots + \measuredangle{EOF} = x + (x+1\cdot 6) + \ldots + (x+4\cdot 6) = 180\degree. Deci ∡AOF=180°.\boxed{\measuredangle{AOF} = 180\degree}.