Exercițiul 282

$\measuredangle A_0OA_1 = x,$
$\measuredangle A_1OA_2 = 2x+1,$
$\measuredangle A_2OA_3 = 3x+2,$
$\ldots$
$\measuredangle A_7OA_8 = 8x+7,$
$\measuredangle A_8OA_0 = 9x-n.$

Însumate, aceste unghiuri fac $360 \degree$, deci:
$x(1+2+ \ldots +9) + (1+2+ \ldots +7) - n = 360$
$45x + 28 - n = 360$
$\boxed{45x = 332 + n}$

$n>0 \Rightarrow 45x > 332 \Rightarrow \boxed{x \geq 8} \quad$ (1)

$m(\measuredangle A_8OA_0) \geq 0 \Rightarrow n \leq 9x$
Deci $45x \leq 332 + 9x \Rightarrow 36x \leq 332 \Rightarrow \boxed{x \leq 9} \quad$ (2)

Din (1) și (2) $\Rightarrow x \in \{8, 9\}.$

• Pentru $\boxed{x=8} \Rightarrow 45 \cdot 8 = 332+n \Rightarrow \boxed{n=28}$
• Pentru $\boxed{x=9} \Rightarrow 45 \cdot 9 = 332+n \Rightarrow \boxed{n=73}$

Prin înlocuire vom obține două seturi de unghiuri, câte unul pentru fiecare pereche $(x, n)$.