Exercițiul 283

E.283. Fie ∡AOB, ∡BOC,…,∡HOA\measuredangle{AOB},~\measuredangle{BOC}, \ldots, \measuredangle{HOA} opt unghiuri în jurul punctului O,O, astfel încât m(∡AOB)=x°, m(∡BOC)=x°+6°, m(∡COD)=x°+2⋅6°, m(∡DOE)=x°+3⋅6°m(\measuredangle{AOB})=x\degree, ~m(\measuredangle{BOC})=x\degree + 6\degree, ~m(\measuredangle{COD})=x\degree + 2 \cdot 6\degree, ~m(\measuredangle{DOE})=x\degree + 3 \cdot 6\degree etc.
a) Aflați măsurile celor 88 unghiuri;
b) Arătați că unghiul BOHBOH este drept;
c) Arătați că punctele A, O, FA,~O,~F sunt coliniare.

Olimpiadă, etapa locală, Alba, 2020
Răspuns | Soluție

Răspuns: x=24°.x=24\degree.

Soluție:

a) x+(x+1⋅6)+(x+2⋅6)+…+(x+7⋅6)=360.x+(x+1\cdot 6) + (x+2\cdot 6) + \ldots + (x+7\cdot 6) =360.
8x+6(1+2+…+7)=360⇒x=24°.8x+6(1+2+ \ldots + 7) = 360 \Rightarrow \boxed{x=24 \degree}.

b) ∡BOH=∡BOC+∡COD+…+∡GOH=(x+1⋅6)+…+(x+6⋅6)=270°.\measuredangle{BOH} = \measuredangle{BOC} + \measuredangle{COD} + \ldots + \measuredangle{GOH} = (x+1\cdot 6) + \ldots + (x+6\cdot 6) = 270\degree. Deci ∡BOH=360−270=90°.\boxed{\measuredangle{BOH} = 360-270=90\degree}.

c) ∡AOF=∡AOB+∡BOC+…+∡EOF=x+(x+1⋅6)+…+(x+4⋅6)=180°.\measuredangle{AOF} = \measuredangle{AOB} + \measuredangle{BOC} + \ldots + \measuredangle{EOF} = x + (x+1\cdot 6) + \ldots + (x+4\cdot 6) = 180\degree. Deci ∡AOF=180°.\boxed{\measuredangle{AOF} = 180\degree}.