Unghiuri suplementare, complementare, adiacente. Bisectoarea unui unghi

Definiții:

unghi
- unghi nul
- unghi alungit
unghi impropriu și unghi propriu
unghiuri congruente
unghi ascuțit/drept/obtuz
unghiuri adiacente
bisectoarea unui unghi
unghiuri complementare
unghiuri suplementare

E.280. Se consideră unghiurile $AOB$ și $BOC,$ astfel încât $m(\measuredangle AOB)=\overline{ab} \degree,~m(\measuredangle BOC)=\overline{bc} \degree$ și $m(\measuredangle MON)=\overline{ac} \degree,$ unde $[OM$ este bisectoarea unghiului $AOB, ~[ON$ este bisectoarea unghiului $BOC,$ iar $a, b$ și $c$ sunt cifre distincte în baza 10. Aflați valorile necunoscutelor $a$ , $b$ și $c$ .

Olimpiadă, etapa locală, Ialomița, 2020

Soluție:

Caz 1:

$\widehat{MON}=\widehat{MOB} + \widehat{BON}$
$\overline{ac} = \dfrac{\overline{ab}}{2} + \dfrac{\overline{bc}}{2}$
$2(10a+c) = 10a + b + 10b + c$
$20a+2c = 10a+11b+c$
$10a+c=11b$ , imposibil pt. că $U_c(10a+c)=c$ și $U_c(11b)=b.$

Caz 2:

$\widehat{MON}=\widehat{MOB} - \widehat{BON}$
$\overline{ac} = \dfrac{\overline{ab}}{2} - \dfrac{\overline{bc}}{2}$
$2(10a+c) = 10a + b - 10b - c$
$20a+2c = 10a -9b - c$
$10a+9b+3c=0$ , imposibil pt. că $a,b>0$ , $c \geq 0.$

Caz 3:

$\widehat{MON}=\widehat{BON} - \widehat{MOB}$
$\overline{ac} = \dfrac{\overline{bc}}{2} - \dfrac{\overline{ab}}{2}$
$2(10a+c) = 10b + c - 10a - b$
$20a+2c = 9b +c - 10a$
$30a+c=9b$

Cum $9b \leq 9 \cdot 9 \Rightarrow 30a \leq81 \Rightarrow a \in \{1,2\}.$

$\quad \bullet \ \text{Pentru} \ \boxed{a=1} \Rightarrow 30+c=9b \Rightarrow \boxed{b=4}, \boxed{c=6}.$
$\quad \bullet \ \text{Pentru} \ \boxed{a=2} \Rightarrow 60+c=9b \Rightarrow \boxed{b=7}, \boxed{c=3}.$

E.281. Fie punctele $O, A, B, C, D$ astfel încât $B$ se află în interiorul unghiului $AOC,$ $C$ se află în interiorul unghiului $BOD,$ $m(\measuredangle AOD) = 140 \degree,$ $b \cdot m(\measuredangle AOB) = a \cdot m(\measuredangle BOC)$ și $c \cdot m(\measuredangle BOC) = b \cdot m(\measuredangle COD),$ unde $a, b, c$ sunt numere prime distincte, astfel încât $7a+14b+2c=77.$ Dacă $OE$ este bisectoarea unghiului $AOB$ și $OF$ este bisectoarea unghiului $COD$ , calculați măsura unghiului EOF.

Olimpiadă, etapa locală, Buzău, 2020

Soluție:

$7a + 14b + 2c = 77$
$7(a + 2b) + 2c = 77 \Rightarrow \boxed{c=7}$ (singurul nr. prim multiplu de $7$ ).

$7(a + 2b) + 14 = 77$
$7(a + 2b) = 63 \quad \mid :7$
$a + 2b = 9$
$a$ este impar, prim și diferit de $7 \Rightarrow a \in \{3, 5\}.$
$\quad \bullet \ \text{Pentru} \ a = 3 \Rightarrow b = 3$ , nu convine (sunt identice).
$\quad \bullet \ \text{Pentru} \ \boxed{a = 5} \Rightarrow \boxed{b=2}$ .

Notând $x = m(\measuredangle AOB)$ , $y = m(\measuredangle BOC)$ , $z = m(\measuredangle COD)$ , avem:

\begin{cases} 2x=5y \quad (1) \\ 7y=2z \quad (2) \\ x+y+z=140 \quad (3) \end{cases}

Fiindcă în primele două relații avem valorile pentru $2x$ și $2z$ , înmulțim relația $(3)$ cu $2$ :
$2x+2y+2z=280$
$5y + 2y + 7y = 280$
$14y = 280 \Rightarrow \boxed{y=20}.$

Revenind la relațiile $(1)$ și $(2)$ obținem $\boxed{x=50}$ și $\boxed{z=70}$ .

$m(\measuredangle EOF) = \dfrac{x}{2} + y + \dfrac{z}{2} = 25+20+35$ , deci $\boxed{m(\measuredangle EOF)=80\degree}$ .

E.292. Fie două unghiuri $AOB$ și $AOC$ complementare și neadicente. Știind că măsura unghiului format de bisectoarele lor este $30\degree,$ calculați măsurile celor două unghiuri.

Olimpiadă, etapa locală, Caraș-Severin, 2020

Nume	CreatLa (UTC)
Tema3-Unghiuri suplementare, complementare, adiacente. Bisectoarea unui unghi	23-09-2024 15:35