Principiul cutiei (Principiul lui Dirichlet)

Tema X

Lucian Maran, MateMaraton, 10-04-2025

Problema 1. Arătați că din 88 persoane se pot alege două care să fie văzute în aceeași zi a săptămânii.

Mate2000 excelență, 1/37, E.725
Soluție:

Considerăm:

  • 77 cutii, corespunzătoare celor 77 zile ale săptămânii;
  • 88 obiecte, corespunzătoare celor 88 persoane.

Conform principiului cutiei, cel puțin o cutie va conține două sau mai multe obiecte. Altfel spus, există cel puțin o zi a săptămânii în care pot fi văzute două sau mai multe persoane.

Problema 2. În interiorul unui dreptunghi 6×4,6 \times 4, care este împărțit în pătrate 1×1,1 \times 1, se desenează 2525 de puncte, astfel încât niciunul dintre acestea să nu fie pe laturile pătratelor. Arătați că exista cel puțin un pătrat 1×11 \times 1 care conține două puncte distincte.

Art, Matematică pentru excelență, 1/139, E.728
Soluție:

Considerăm:

  • 2424 cutii, corespunzătoare celor 2424 pătrate 1×11 \times 1;
  • 2525 obiecte, corespunzătoare celor 2525 puncte.

Conform principiului cutiei, cel puțin o cutie va conține mai mult de un obiect. Altfel spus, există cel puțin un pătrat 1×11 \times 1 care conține cel puțin două puncte distincte.

Problema 3. Într-o clasă sunt 2929 elevi. Arătați că dintre ei putem alege 55 elevi care s-au născut în aceeași zi din săptămână.

Mate 2000 excelență, 2/37, E.726
Soluție:

Considerăm:

  • 77 cutii, corespunzătoare celor 77 zile ale săptămânii;
  • 7⋅4+17 \cdot 4 +1 obiecte, corespunzătoare celor 2929 elevi.

Conform principiului cutiei (varianta generalizată), cel puțin o cutie va conține mai mult de 44 obiecte. Altfel spus, există cel puțin o zi a săptămânii în care s-au născut 55 sau mai mulți elevi.