Metoda comparației vs. metoda algebrică

Curs 12 - Probleme rezolvate

Lucian Maran, MateMaraton, 18-12-2024

Problema 1. Un elev a cumpărat de la o librărie 55 pixuri, 44 creioane și 66 caiete pentru care a plătit 5353 lei. A doua oară a cumpărat 44 pixuri, 55 creioane și 44 caiete pentru care a plătit 4242 lei, iar a treia oară a cumpărat 99 pixuri, 99 creioane și 55 caiete pentru care a plătit 7070 lei. Aflați cât costă un pix, un creion și un caiet.

Rodica Lădar, Olimpiadă, etapa locală, Cluj, 2018; Satu-Mare, 2019; Harghita 2020; Sibiu 2024, E.614
Soluție:

Notăm cu p,c,ap,c,a prețul unui pix, al unui creion, respectiv al unui caiet.

{5p+4c+6a=53(1)4p+5c+4a=42(2)9p+9c+5a=70(3)⇒(1)+(2){9p+9c+10a=959p+9c+5a=70⇒(−)5a=25⇒a=5. \begin{cases} 5p+4c+6a=53 \quad (1) \\ 4p+5c+4a=42 \quad (2) \\ 9p+9c+5a = 70 \quad (3) \end{cases} \overset{(1)+(2) }{\Rightarrow} \begin{cases} 9p+9c+10a=95 \\ 9p+9c+5a = 70 \end{cases} \overset{(-) }{\Rightarrow} 5a=25 \Rightarrow \boxed{a=5}.
Înlocuim pe aa în (1) și (2):
{5p+4c+6⋅5=534p+5c+4⋅5=42⇔{5p+4c=23∣⋅44p+5c=22∣⋅5⇔{20p+16c=9220p+25c=110⇒(−)9c=18⇒c=2. \begin{cases} 5p+4c+6 \cdot 5=53 \\ 4p+5c+4 \cdot 5=42 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 5p+4c=23 \quad | \cdot 4 \\ 4p+5c=22 \quad | \cdot 5 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 20p+16c=92 \\ 20p+25c=110 \end{cases} \overset{(-) }{\Rightarrow} 9c=18 \Rightarrow \boxed{c=2}.
5p+4⋅2=23⇒p=3.5p+4 \cdot 2 =23 \Rightarrow \boxed{p=3}.

Problema 2. Pentru biblioteca unei școli s-au cumpărat 6464 de cărți în valoare de 632632 lei. Știind că prețul cărților este de 88 lei, 1010 lei, respectiv 1212 lei, iar numărul cărților de 1010 lei este de două ori mai mare decât numărul cărților de 88 lei, aflați câte cărți s-au cumpărat de fiecare fel.

Olimpiadă, etapa locală, Covasna, 2018, E.615
Soluție:

Notăm cu a,b,ca,b,c numărul cărților cu 88 lei, 1010 lei, respectiv 1212 lei.

{8a+10b+12c=632a+b+c=64b=2a⇒b=2a{28a+12c=6323a+c=64∣⋅12⇔{28a+12c=63236a+12c=768⇒(−)8a=136⇒a=17. \begin{cases} 8a+10b+12c = 632 \\ a+b+c=64 \\ b=2a \end{cases} \overset{b=2a}{\Rightarrow} \begin{cases} 28a + 12c = 632\\ 3a+c=64 \quad | \cdot 12 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 28a + 12c = 632\\ 36a+12c=768 \end{cases} \overset{(-)}{\Rightarrow} 8a=136 \Rightarrow \boxed{a=17}.
3⋅17+c=64⇒c=13.3 \cdot 17 + c = 64 \Rightarrow \boxed{c=13}.
b=2⋅17⇒b=34.b=2 \cdot 17 \Rightarrow \boxed{b=34}.

Problema 3. La intrarea în Aventura-Park se plătesc 245245 lei pentru 33 bilete de adult și 77 bilete de copil, iar pentru 55 bilete de adult și 44 bilete de copil se plătesc 255255 lei. Aflați prețul unui bilet de adult și prețul unui bilet de copil.

Olimpiadă, etapa locală, Sibiu, 2018, E.617
Soluție:

Notăm cu aa și cc prețul unui bilet pentru un adult, respectiv pentru un copil.

{3a+7c=245⋅55a+4c=255⋅3⇔{15a+35c=122515a+12c=765⇒(−)23c=460⇒c=20. \begin{cases} 3a+7c=245 \quad \cdot 5\\ 5a+4c=255 \quad \cdot 3 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 15a+35c=1225\\ 15a+12c=765 \end{cases} \overset{(-)}{\Rightarrow} 23c=460 \Rightarrow \boxed{c=20}.
3a+7⋅20=245⇒a=35.3a+7 \cdot 20=245 \Rightarrow \boxed{a=35}.

Problema 4. Radu și Maria au cumpărat rechizite de la librărie. Radu a cumpărat 33 caiete, 11 radieră, 55 pixuri și a plătit 1919 lei. Maria a cumpărat 44 caiete, 11 radieră, 77 pixuri și a plătit 2525 de lei. Cât costă fiecare articol, dacă un caiet este de patru ori mai scump decât un pix?

Maria-Voichița Vulcu, Olimpiadă, etapa locală, Sibiu, 2017, E.620
Soluție:

Notăm cu c,r,pc,r,p numărul de caiete, radiere, respectiv pixuri.

{3c+r+5p=194c+r+7p=25c=4p \begin{cases} 3c+r+5p = 19 \\ 4c+r+7p = 25 \\ c=4p \end{cases}
Înlocuim pe cc în primele două relații:
{3⋅4p+r+5p=194⋅4p+r+7p=25⇔{17p+r=1923p+r=25⇒(−)6p=6⇒p=1. \begin{cases} 3 \cdot 4p+r+5p = 19 \\ 4 \cdot 4p+r+7p = 25 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 17p+r = 19 \\ 23p+r = 25 \end{cases} \overset{(-)}{\Rightarrow} 6p=6 \Rightarrow \boxed{p=1}.
17⋅1+r=19⇒r=2.17 \cdot 1 + r =19 \Rightarrow \boxed{r=2}.
c=4⋅1⇒c=4.c = 4 \cdot 1 \Rightarrow \boxed{c=4}.