Metoda comparației vs. metoda algebrică
Tema 12
Lucian Maran, MateMaraton, 15-12-2024
Problema 1. Să se determine necunoscutele x x x y y y
a ) { 3 x + 4 y = 10 9 x + 4 y = 22
a) \begin{cases}
3x+4y=10 \\
9x+4y=22
\end{cases}
a ) { 3 x + 4 y = 10 9 x + 4 y = 22
b ) { x + 6 y = 135 2 x + 3 y = 90
\quad b) \begin{cases}
x+6y=135 \\
2x+3y=90
\end{cases}
b ) { x + 6 y = 135 2 x + 3 y = 90
c ) { 7 x + 12 y = 261 5 x + 8 y = 175
\quad c) \begin{cases}
7x+12y=261 \\
5x+8y=175
\end{cases}
c ) { 7 x + 12 y = 261 5 x + 8 y = 175
Mate2000 excelență, 1,2/11, E.603
Soluție:
a)
{ 3 x + 4 y = 10 9 x + 4 y = 22 ⇒ ( − ) 6 x = 12 ⇒ x = 2 .
\begin{cases}
3x+4y=10 \\
9x+4y=22
\end{cases} \overset{(-)}{\Rightarrow} 6x=12 \Rightarrow \boxed{x=2}.
{ 3 x + 4 y = 10 9 x + 4 y = 22 ⇒ ( − ) 6 x = 12 ⇒ x = 2 . 3 ⋅ 2 + 4 y = 10 ⇒ y = 1 . 3 \cdot 2 + 4y = 10 \Rightarrow \boxed{y=1}. 3 ⋅ 2 + 4 y = 10 ⇒ y = 1 .
b)
{ x + 6 y = 135 ∣ ⋅ 2 2 x + 3 y = 90 ⇔ { 2 x + 12 y = 270 2 x + 3 y = 90 ⇒ ( − ) 9 y = 180 ⇒ y = 20 .
\begin{cases}
x+6y=135 \quad | \cdot 2\\
2x+3y=90
\end{cases} \Leftrightarrow
\begin{cases}
2x+12y=270\\
2x+3y=90
\end{cases} \overset{(-)}{\Rightarrow} 9y=180 \Rightarrow \boxed{y=20}.
{ x + 6 y = 135 ∣ ⋅ 2 2 x + 3 y = 90 ⇔ { 2 x + 12 y = 270 2 x + 3 y = 90 ⇒ ( − ) 9 y = 180 ⇒ y = 20 . x + 6 ⋅ 20 = 135 ⇒ x = 15 . x+6 \cdot 20=135 \Rightarrow \boxed{x=15}. x + 6 ⋅ 20 = 135 ⇒ x = 15 .
c)
{ 7 x + 12 y = 261 ∣ ⋅ 5 5 x + 8 y = 175 ∣ ⋅ 7 ⇔ { 35 x + 60 y = 1305 35 x + 56 y = 1225 ⇒ ( − ) 4 y = 80 ⇒ y = 20 .
\begin{cases}
7x+12y=261 \quad |\cdot 5\\
5x+8y=175 \quad | \cdot 7
\end{cases}
\Leftrightarrow
\begin{cases}
35x+60y=1305 \\
35x+56y=1225
\end{cases} \overset{(-)}{\Rightarrow} 4y=80 \Rightarrow \boxed{y=20}.
{ 7 x + 12 y = 261 ∣ ⋅ 5 5 x + 8 y = 175 ∣ ⋅ 7 ⇔ { 35 x + 60 y = 1305 35 x + 56 y = 1225 ⇒ ( − ) 4 y = 80 ⇒ y = 20 . 5 x + 8 ⋅ 20 = 175 ⇒ x = 3 . 5x+8 \cdot 20=175 \Rightarrow \boxed{x=3}. 5 x + 8 ⋅ 20 = 175 ⇒ x = 3 .
Problema 2. Să se determine necunoscutele x , y x,y x , y z z z
a ) { x + y + z = 16 x + 3 y + z = 24 x + y + 4 z = 46
a) \begin{cases}
x+y+z=16 \\
x+3y+z=24 \\
x+y+4z=46
\end{cases}
a ) ⎩ ⎨ ⎧ x + y + z = 16 x + 3 y + z = 24 x + y + 4 z = 46
b ) { 2 x + y + z = 11 x + 2 y + z = 12 x + y + 2 z = 13
\quad b) \begin{cases}
2x+y+z=11 \\
x+2y+z=12 \\
x+y+2z=13
\end{cases}
b ) ⎩ ⎨ ⎧ 2 x + y + z = 11 x + 2 y + z = 12 x + y + 2 z = 13
c ) { 2 x + 3 y + 4 z = 370 3 x + 4 y + 5 z = 485 4 x + 6 y + 7 z = 690
\quad c) \begin{cases}
2x+3y+4z=370 \\
3x+4y+5z=485 \\
4x+6y+7z=690
\end{cases}
c ) ⎩ ⎨ ⎧ 2 x + 3 y + 4 z = 370 3 x + 4 y + 5 z = 485 4 x + 6 y + 7 z = 690
Exerciții pentru cercurile de matematică, cls.IV, Petre Năchilă, 10,13/25, E.604
Soluție:
a) { x + y + z = 16 ( 1 ) x + 3 y + z = 24 ( 2 ) x + y + 4 z = 46 ( 3 )
\begin{cases}
x+y+z=16 \quad (1)\\
x+3y+z=24 \quad (2)\\
x+y+4z=46 \quad (3)
\end{cases}
⎩ ⎨ ⎧ x + y + z = 16 ( 1 ) x + 3 y + z = 24 ( 2 ) x + y + 4 z = 46 ( 3 ) ⇒ 2 y = 8 ⇒ y = 4 . \Rightarrow 2y=8 \Rightarrow \boxed{y=4}. ⇒ 2 y = 8 ⇒ y = 4 . ⇒ 3 z = 30 ⇒ z = 10 . \Rightarrow 3z=30 \Rightarrow \boxed{z=10}. ⇒ 3 z = 30 ⇒ z = 10 . ⇒ x + 4 + 10 = 16 ⇒ x = 2 . \Rightarrow x+4+10=16 \Rightarrow \boxed{x=2}. ⇒ x + 4 + 10 = 16 ⇒ x = 2 .
b { 2 x + y + z = 11 ( 1 ) x + 2 y + z = 12 ( 2 ) x + y + 2 z = 13 ( 3 ) ⇒ ( 1 ) + ( 2 ) + ( 3 ) 4 ( x + y + z ) = 36 ⇒ x + y + z = 9 ( 4 ) .
\begin{cases}
2x+y+z=11 \quad (1)\\
x+2y+z=12 \quad (2)\\
x+y+2z=13 \quad (3)
\end{cases} \overset{(1)+(2)+(3)}{\Rightarrow} 4(x+y+z)=36 \Rightarrow \boxed{x+y+z=9} \quad (4).
⎩ ⎨ ⎧ 2 x + y + z = 11 ( 1 ) x + 2 y + z = 12 ( 2 ) x + y + 2 z = 13 ( 3 ) ⇒ ( 1 ) + ( 2 ) + ( 3 ) 4 ( x + y + z ) = 36 ⇒ x + y + z = 9 ( 4 ) . ⇒ x = 2 . \Rightarrow \boxed{x=2}. ⇒ x = 2 . ⇒ y = 3 . \Rightarrow \boxed{y=3}. ⇒ y = 3 . ⇒ z = 4 . \Rightarrow \boxed{z=4}. ⇒ z = 4 .
c)
{ 2 x + 3 y + 4 z = 370 ∣ ⋅ 2 3 x + 4 y + 5 z = 485 4 x + 6 y + 7 z = 690 ⇔ { 4 x + 6 y + 8 z = 740 ( 1 ) 3 x + 4 y + 5 z = 485 ( 2 ) 4 x + 6 y + 7 z = 690 ( 3 ) ⇒ ( 1 ) − ( 3 ) z = 50 .
\begin{cases}
2x+3y+4z=370 \quad | \cdot 2 \\
3x+4y+5z=485 \\
4x+6y+7z=690
\end{cases} \Leftrightarrow
\begin{cases}
4x+6y+8z=740 \quad (1) \\
3x+4y+5z=485 \quad (2) \\
4x+6y+7z=690 \quad (3)
\end{cases} \overset{(1)-(3)}{\Rightarrow} \boxed{z=50}.
⎩ ⎨ ⎧ 2 x + 3 y + 4 z = 370 ∣ ⋅ 2 3 x + 4 y + 5 z = 485 4 x + 6 y + 7 z = 690 ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ 4 x + 6 y + 8 z = 740 ( 1 ) 3 x + 4 y + 5 z = 485 ( 2 ) 4 x + 6 y + 7 z = 690 ( 3 ) ⇒ ( 1 ) − ( 3 ) z = 50 .
Înlocuim pe z z z { 4 x + 6 y + 8 ⋅ 50 = 740 3 x + 4 y + 5 ⋅ 50 = 485 ⇔ { 4 x + 6 y = 340 ∣ ⋅ 3 3 x + 4 y = 235 ∣ ⋅ 4 ⇔ { 12 x + 18 y = 1020 12 x + 16 y = 940 ⇒ ( − ) 2 y = 80 ⇒ y = 40 .
\begin{cases}
4x+6y+8 \cdot 50 =740 \\
3x+4y+5 \cdot 50 =485 \\
\end{cases} \Leftrightarrow
\begin{cases}
4x+6y =340 \quad | \cdot 3\\
3x+4y =235 \quad | \cdot 4\\
\end{cases} \Leftrightarrow
\begin{cases}
12x+18y =1020\\
12x+16y =940\\
\end{cases} \overset{(-)}{\Rightarrow} 2y=80 \Rightarrow \boxed{y=40}.
{ 4 x + 6 y + 8 ⋅ 50 = 740 3 x + 4 y + 5 ⋅ 50 = 485 ⇔ { 4 x + 6 y = 340 ∣ ⋅ 3 3 x + 4 y = 235 ∣ ⋅ 4 ⇔ { 12 x + 18 y = 1020 12 x + 16 y = 940 ⇒ ( − ) 2 y = 80 ⇒ y = 40 . 4 x + 6 ⋅ 40 = 340 ⇒ x = 25 . 4x+6 \cdot 40 = 340 \Rightarrow \boxed{x=25}. 4 x + 6 ⋅ 40 = 340 ⇒ x = 25 .
Problema 3. La o florărie, 7 7 7 5 5 5 3 3 3 57 57 57 5 5 5 3 3 3 25 25 25 2 2 2 5 5 5 40 40 40
Radu Stănică, Olimpiadă, etapa locală, Cluj, 2020, E.607
Soluție:
Notăm cu l , t , g l, t, g l , t , g t t t { 7 l + 5 t + 3 g = 57 ∣ ⋅ 3 ⋅ 2 5 l + 3 t = 25 ∣ ⋅ 5 ⋅ 2 2 t + 5 g = 40 ∣ ⋅ 5 ⋅ 3 ⇔ { 42 l + 30 t + 18 g = 342 ( 1 ) 50 l + 30 t = 250 ( 2 ) 30 t + 75 g = 600 ( 3 )
\begin{cases}
7l+&5t+3g&=57 \quad |\cdot 3 \cdot 2\\
5l+&3t&=25 \quad |\cdot 5 \cdot 2\\
&2t+5g&=40 \quad |\cdot 5 \cdot 3
\end{cases} \Leftrightarrow
\begin{cases}
42l+&30t+18g&=342 \quad (1)\\
50l+&30t&=250 \quad (2)\\
&30t+75g&=600 \quad (3)
\end{cases}
⎩ ⎨ ⎧ 7 l + 5 l + 5 t + 3 g 3 t 2 t + 5 g = 57 ∣ ⋅ 3 ⋅ 2 = 25 ∣ ⋅ 5 ⋅ 2 = 40 ∣ ⋅ 5 ⋅ 3 ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ 42 l + 50 l + 30 t + 18 g 30 t 30 t + 75 g = 342 ( 1 ) = 250 ( 2 ) = 600 ( 3 )
{ ( 1 ) − ( 2 ) : 718 g − 8 l = 92 ∣ : 2 ( 3 ) − ( 2 ) : 75 g − 50 l = 350 ∣ : 25 ⇔ { 9 g = 4 l + 46 3 g = 2 l + 14 ∣ ⋅ 2 ⇔ { 9 g = 4 l + 46 6 g = 4 l + 28 ⇒ ( − ) 3 g = 18 ⇒ g = 6 .
\begin{cases}
(1)-(2): 718g-8l=92 \quad |:2\\
(3)-(2): 75g-50l=350 \quad |:25
\end{cases} \Leftrightarrow
\begin{cases}
9g=4l+46\\
3g=2l+14 \quad |\cdot 2
\end{cases} \Leftrightarrow
\begin{cases}
9g=4l+46\\
6g=4l+28
\end{cases} \overset{(-)}{\Rightarrow} 3g=18 \Rightarrow \boxed{g=6}.
{ ( 1 ) − ( 2 ) : 718 g − 8 l = 92 ∣ : 2 ( 3 ) − ( 2 ) : 75 g − 50 l = 350 ∣ : 25 ⇔ { 9 g = 4 l + 46 3 g = 2 l + 14 ∣ ⋅ 2 ⇔ { 9 g = 4 l + 46 6 g = 4 l + 28 ⇒ ( − ) 3 g = 18 ⇒ g = 6 . 3 ⋅ 6 = 2 l + 14 ⇒ l = 2 . 3\cdot 6=2l+14 \Rightarrow \boxed{l=2}. 3 ⋅ 6 = 2 l + 14 ⇒ l = 2 . 2 t + 5 ⋅ 6 = 40 ⇒ t = 5 . 2t+5 \cdot 6 = 40 \Rightarrow \boxed{t=5}. 2 t + 5 ⋅ 6 = 40 ⇒ t = 5 .
Problema 4. Iulia și Ștefan au cumpărat de la chioșcul alimentar al școlii produse de patiserie pentru ei și pentru colegii din clasă. Iulia a cumpărat 5 5 5 2 2 2 7 7 7 26 26 26 3 3 3 2 2 2 4 4 4 17 17 17
Olimpiadă, etapa locală, Dolj, 2020, E.608
Soluție:
Notăm cu p , s , c p,s,c p , s , c { 5 p + 2 s + 7 c = 26 3 p + 2 s + 4 c = 17 p = 3 c
\begin{cases}
5p+2s+7c=26 \\
3p+2s+4c=17 \\
p=3c
\end{cases}
⎩ ⎨ ⎧ 5 p + 2 s + 7 c = 26 3 p + 2 s + 4 c = 17 p = 3 c
{ 5 ⋅ 3 c + 2 s + 7 c = 26 3 ⋅ 3 c + 2 s + 4 c = 17 ⇔ { 22 c + 2 s = 26 13 c + 2 s = 17 ⇒ ( − ) 9 c = 9 ⇒ c = 1
\begin{cases}
5\cdot 3c+2s+7c=26 \\
3\cdot 3c+2s+4c=17
\end{cases} \Leftrightarrow
\begin{cases}
22c+2s=26 \\
13c+2s=17
\end{cases} \overset{(-)}{\Rightarrow} 9c=9 \Rightarrow \boxed{c=1}
{ 5 ⋅ 3 c + 2 s + 7 c = 26 3 ⋅ 3 c + 2 s + 4 c = 17 ⇔ { 22 c + 2 s = 26 13 c + 2 s = 17 ⇒ ( − ) 9 c = 9 ⇒ c = 1 13 ⋅ 1 + 2 s = 17 ⇒ s = 2 . 13 \cdot 1 +2s=17 \Rightarrow \boxed{s=2}. 13 ⋅ 1 + 2 s = 17 ⇒ s = 2 . p = 3 ⋅ 1 ⇒ p = 3 . p=3 \cdot 1 \Rightarrow \boxed{p=3}. p = 3 ⋅ 1 ⇒ p = 3 .
Problema 5. Ilinca vrea să își invite prietenele și să le cumpere câte o ciocolată, un suc și o acadea. Știind că o ciocolată și un suc costă 7 7 7 3 3 3 4 4 4 20 20 20 3 3 3 2 2 2 13 13 13 50 50 50
Ionela Turturean, Olimpiadă, etapa locală, Satu-Mare, 2020, E.609
Soluție:
Notăm cu c , s , a c,s,a c , s , a { c + s = 7 ∣ ⋅ 3 3 c + 4 a = 20 3 s + 2 a = 13 ⇔ { 3 c + 3 s = 21 ( 1 ) 3 c + 4 a = 20 ( 2 ) 3 s + 2 a = 13 ( 3 )
\begin{cases}
c+s =7 \quad |\cdot 3\\
3c+4a =20 \\
3s + 2a =13
\end{cases} \Leftrightarrow
\begin{cases}
3c+3s =21 \quad (1)\\
3c+4a =20 \quad (2) \\
3s + 2a =13 \quad (3)
\end{cases}
⎩ ⎨ ⎧ c + s = 7 ∣ ⋅ 3 3 c + 4 a = 20 3 s + 2 a = 13 ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ 3 c + 3 s = 21 ( 1 ) 3 c + 4 a = 20 ( 2 ) 3 s + 2 a = 13 ( 3 )
{ ( 1 ) − ( 2 ) : 3 s − 4 a = 1 ( 3 ) : 3 s + 2 a = 13 ⇔ { 3 s = 1 + 4 a 3 s = 13 − 2 a ⇒ 1 + 4 a = 13 − 2 a ⇒ a = 2 .
\begin{cases}
(1)-(2): &3s-4a=1\\
(3): &3s + 2a =13
\end{cases} \Leftrightarrow
\begin{cases}
3s=1+4a \\
3s =13-2a
\end{cases} \Rightarrow 1+4a=13-2a \Rightarrow \boxed{a=2}.
{ ( 1 ) − ( 2 ) : ( 3 ) : 3 s − 4 a = 1 3 s + 2 a = 13 ⇔ { 3 s = 1 + 4 a 3 s = 13 − 2 a ⇒ 1 + 4 a = 13 − 2 a ⇒ a = 2 . Din ( 3 ) ⇒ 3 s + 2 ⋅ 2 = 13 ⇒ s = 3 . (3) \Rightarrow 3s+2 \cdot 2 = 13 \Rightarrow \boxed{s=3}. ( 3 ) ⇒ 3 s + 2 ⋅ 2 = 13 ⇒ s = 3 . ( 1 ) ⇒ 3 c + 3 ⋅ 3 = 21 ⇒ c = 4 . (1) \Rightarrow 3c+3 \cdot 3 = 21 \Rightarrow \boxed{c=4}. ( 1 ) ⇒ 3 c + 3 ⋅ 3 = 21 ⇒ c = 4 .
O ciocolată, un suc și o acadea costă 4 + 3 + 2 = 9 4+3+2=9 4 + 3 + 2 = 9 50 : 9 = 5 , 50:9=5, 50 : 9 = 5 , 5. 5. 5. 5 5 5 5 5 5 4 4 4 3 3 3
Problema 6. Ana cumpără 7 7 7 3 3 3 2 2 2 175 175 175 9 9 9 5 5 5 230 230 230 8 8 8 10 10 10 140 140 140
Olimpiadă, etapa locală, Caraș-Severin, 2024; Vaslui 2023; Constanța 2023, E.610
Soluție:
Notăm cu c , a , p c,a,p c , a , p { 7 c + 3 a + 2 p = 175 ∣ ⋅ 5 9 c + 5 p = 230 ∣ ⋅ 2 8 a + 10 p = 140 ⇔ { 35 c + 15 a + 10 p = 875 ( 1 ) 18 c + 10 p = 460 ( 2 ) 8 a + 10 p = 140 ( 3 )
\begin{cases}
7c+3a+2p=175 \quad | \cdot 5 \\
9c+5p=230 \quad | \cdot 2 \\
8a+10p = 140
\end{cases} \Leftrightarrow
\begin{cases}
35c+15a+10p=875 \quad (1)\\
18c+10p=460 \quad (2)\\
8a+10p = 140 \quad (3)
\end{cases}
⎩ ⎨ ⎧ 7 c + 3 a + 2 p = 175 ∣ ⋅ 5 9 c + 5 p = 230 ∣ ⋅ 2 8 a + 10 p = 140 ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ 35 c + 15 a + 10 p = 875 ( 1 ) 18 c + 10 p = 460 ( 2 ) 8 a + 10 p = 140 ( 3 )
{ ( 1 ) − ( 2 ) ⇒ 17 c + 15 a = 415 ( 1 ) − ( 3 ) ⇒ 35 c + 7 a = 735 ∣ : 7 ⇔ { 17 c + 15 a = 415 7 c + a = 105 ∣ ⋅ 5 ⇔ { 17 c + 15 a = 415 75 c + 15 a = 1575 ⇒ ( − ) 58 c = 1160 ⇒ c = 20 .
\begin{cases}
(1)-(2) \Rightarrow 17c+15a=415 \\
(1)-(3) \Rightarrow 35c+7a = 735 \quad |:7
\end{cases} \Leftrightarrow
\begin{cases}
17c+15a=415 \\
7c+a = 105 \quad | \cdot 5
\end{cases} \Leftrightarrow
\begin{cases}
17c+15a=415\\
75c+15a = 1575
\end{cases} \overset{(-)}{\Rightarrow} 58c=1160 \Rightarrow \boxed{c=20}.
{ ( 1 ) − ( 2 ) ⇒ 17 c + 15 a = 415 ( 1 ) − ( 3 ) ⇒ 35 c + 7 a = 735 ∣ : 7 ⇔ { 17 c + 15 a = 415 7 c + a = 105 ∣ ⋅ 5 ⇔ { 17 c + 15 a = 415 75 c + 15 a = 1575 ⇒ ( − ) 58 c = 1160 ⇒ c = 20 . Revenim la sistemul inițial:9 ⋅ 20 + 5 p = 230 ⇒ p = 10 . 9 \cdot 20+5p=230 \Rightarrow \boxed{p=10}. 9 ⋅ 20 + 5 p = 230 ⇒ p = 10 . 8 a + 10 ⋅ 10 = 140 ⇒ a = 5 . 8a+10 \cdot 10 =140 \Rightarrow \boxed{a=5}. 8 a + 10 ⋅ 10 = 140 ⇒ a = 5 .