Probleme de redistribuire

Tema 9

Lucian Maran, MateMaraton, 09-12-2024

Problema 1. Dacă elevii unei clase se așază câte 22 în fiecare bancă din laboratorul de fizică, atunci rămân 33 elevi în picioare. Dacă elevii se așază câte 44 în bancă, atunci rămân 55 bănci libere și o bancă în care stă un singur elev.
a) Verifică dacă în acea clasă pot fi 3030 de elevi. Justifică răspunsul dat.
b) Determină numărul băncilor din laboratorul de fizică.

EN, iunie 2024, E.586
Soluție:

a) Din al doilea scenariu avem 30=4⋅k+1,30=4 \cdot k + 1, unde kk reprezintă numărul de bănci în care stau 44 elevi.
⇒k=29:4\Rightarrow k=29:4 (nu convine, pentru că numărul de bănci trebuie să fie un număr natural). Deci în clasă nu pot fi 3030 de elevi.

b) Notăm cu ee și bb numărul de elevi, respectiv numărul de bănci.

e=2b+3e=4(b−6)+1}⇒2b+3=4(b−6)+1⇒b=13. \begin{rcases} e = 2b + 3 \\ e = 4(b-6) + 1 \end{rcases} \Rightarrow 2b+3=4(b-6)+1 \Rightarrow \boxed{b=13}.

Problema 2. Maria aranjează cărțile din bibliotecă și observă că dacă le grupează câte 8,8, câte 1212 sau câte 1818 îi rămân de fiecare dată câte 55 cărți.
a) Verifică dacă Maria poate avea în bibliotecă 5353 de cărți. Justifică răspunsul dat.
b) Determină numărul cărților din biblioteca Mariei, știind că acesta este cel mai mic număr natural de trei cifre cu proprietățile din enunț.

Simulare EN, februarie 2024, E.587
Soluție:

a) Calculăm resturile împărțirii lui 5353 la 8,128,12 și 1818:

  • 53=8⋅6+553=8 \cdot 6 + 5
  • 53=12⋅4+553 = 12 \cdot 4 + 5
  • 53=18⋅2+1753 = 18 \cdot 2 + 17 (nu convine, 17≠517 \not =5). Deci Maria nu poate avea 5353 de cărți.

b) Notăm cu nn numărul de cărți din bibliotecă și cu x,y,zx,y,z numărul de grupe de câte 8,12,8,12, respectiv 1818 cărți.

n=8⋅x+5n=12⋅y+5n=18⋅z+5}⇒{x=n−58y=n−512z=n−518 \begin{rcases} n= 8 \cdot x + 5 \\ n= 12 \cdot y + 5 \\ n= 18 \cdot z + 5 \end{rcases} \Rightarrow \begin{cases} x= \dfrac{n-5}{8} \\ y= \dfrac{n-5}{12} \\ z= \dfrac{n-5}{18} \end{cases}
Cum x,y,zx,y,z sunt numere naturale, înseamnă că n−5n-5 trebuie să fie un multiplu de 8,128,12 și 18.18.
[8,12,18]=[23, 22⋅3, 2⋅32]=23⋅32=72.[8,12,18] = [2^3,~ 2^2 \cdot 3,~ 2 \cdot 3^2] = 2^3 \cdot 3^2=72.
Deci cel mai mic multiplu care este comun celoor 33 numere și care are 33 cifre este 72⋅2=144.72 \cdot 2 = 144.
n−5=144⇒n=149.n-5=144 \Rightarrow \boxed{n=149}.

Problema 3. Într-un bloc de locuințe sunt 2222 de apartamente cu două, respectiv cu patru camere, în total fiind 6060 de camere.
a) Este posibil ca în acest bloc să fie 1616 apartamente cu patru camere? Justifică răspunsul dat.
b) Determină numărul de apartamente cu două camere din acest bloc.

Simulare EN, martie 2023, E.588
Soluție:

a) 1616 apartamente cu 44 camere au 16⋅4=6416 \cdot 4 = 64 camere, adică mai mult decât numărul din enunț.
În concluzie, blocul nu poate avea 1616 apartamente cu 44 camere.

b) Notăm cu dd și pp numărul de apartamente cu două, respectiv cu patru camere.

d+p=2260=d⋅2+p⋅4}⇒d=14. \begin{rcases} d+p=22 \\ 60=d \cdot 2 + p \cdot 4 \end{rcases} \Rightarrow \boxed{d=14}.

Problema 4. Un elev are de rezolvat niște probleme de matematică într-un anumit interval de timp. Dacă ar rezolva câte 44 probleme pe zi, i-ar rămâne 77 probleme nerezolvate, iar dacă ar rezolva câte 66 probleme pe zi, i-ar rămâne o singura problemă nerezolvată. Aflați câte probleme trebuie să rezolve elevul.

Culegere EN 2019, Paralela 45 (2/101), E.194
Soluție:

Notăm cu zz numărul de zile pe care elevul le are la dispoziție și cu pp numărul de probleme pe care le are de rezolvat. Ecuațiile pentru cele două scenarii sunt:

{p=4⋅z+7p=6⋅z+1 \begin{cases} p = 4 \cdot z + 7\\ p= 6 \cdot z + 1 \end{cases}
Deci 4z+7=6z+1⇒z=3.4z+7 = 6z+1 \Rightarrow \boxed{z=3}.
Înlocuind pe zz în prima ecuație obținem p=19.\boxed{p=19}.