Tema10 Pătrate și cuburi perfecte

Problema 1. Arătați că numărul $A=1+2+3+ \ldots+2018+2019+2018+ \ldots + 3+2+1$ este pătrat perfect.

Olimpiadă, etapa locală, Buzău, 2018, E.537

Răspuns: $A=2019^2$

Problema 2. Se consideră numerele: $A=(2^{20}+2^{21})\cdot (3^{20}+3^{21})$ și $B=(2^{21}-2^{20})\cdot (3^{23}-3^{21}).$
a) Arătați că $A+B$ este pătrat perfect.
b) Arătați că $A\cdot B$ este cub perfect.

Olimpiadă, etapa locală, Dâmbovița, 2018, E.538

Răspuns: $A+B=(2^{11} \cdot 3^{11})^2;~ A\cdot B = (2^{15} \cdot 3^{14})^3.$

Problema 3. a) Arătați că numărul $A=2 \cdot 2019^{2020} - 2020 \cdot 2019^{2019} - 2018 \cdot 2019^{2018}$ este pătrat perfect.
b) Arătați că numărul $B=27^{10} \cdot 32^{11} - 16^7 \cdot 6^{27} \cdot 23$ este cub perfect.

Olimpiadă, etapa locală, Botoșani, 2019, E.539

Răspuns: $A=(2019^{2019} \cdot 2018)^2; ~ B=(3^9 \cdot 2^{19})^3.$

Problema 4. Fie numărul $A=2^{4037} + 2^{2020} +2.$ Este $A$ pătrat perfect?

Adriana Cațaron, Olimpiadă, etapa locală, Botoșani, 2020, E.541

Problema 5. Se consideră numerele $x=2023^{2n+1} + 2024^n + n$ și $y=n+2024^n,$ unde $n$ este un număr natural nenul. Să se demonstreze că dacă ultima cifră a lui $x$ este $5,~y$ nu este pătrat perfect.

Olimpiadă, etapa locală, Bihor, 2024, E.542

Indicații: $U_c(x)=5 \Rightarrow x$ impar $\Rightarrow n$ par $\Rightarrow U_c(x)=U_c(3+y) \Rightarrow U_c(y)=2.$

Problema 6. Să se calculeze pătratul numărului $\overline{ab},$ știind că numărul $\overline{aaaa} + 101(a+b)$ este pătrat perfect.

Olimpiadă, etapa locală, Prahova, 2024, E.543

Răspuns: $85^2=7225.$

Pătrate și cuburi perfecte

Tema 10