Descompunerea în factori primi. Numărul și suma divizorilor.

Tema 6

Lucian Maran, MateMaraton, 26-11-2024

Problema 1. Fie numărul N=aaba‾+bbcb‾+ccac‾,N=\overline{aaba} + \overline{bbcb} + \overline{ccac}, unde a,b,ca,b,c sunt cifre nenule în baza zece. Să se afle numărul minim și numărul maxim de divizori ai lui N.N.

Emanuel Munteanu, Olimpiadă, etapa locală, Brașov, 2013, E.526
Soluție:

N=(a+b+c)⋅11⋅101.N=(a+b+c) \cdot 11 \cdot 101. Numărul final de divizori este influențat de valoarea lui S=a+b+c.S=a+b+c.
Dar SS este un număr cuprins între 33 și 27,27, și poate fi de forma:

  • p14p13,p12,p11⇒dmax(S)=5;p_1^4 \quad p_1^3, \quad p_1^2, \quad p_1^1 \Rightarrow d_{max}(S)=5;
  • p13⋅p21=23⋅3⇒d(S)=4⋅2=8;p_1^3 \cdot p_2^1 = 2^3 \cdot 3 \Rightarrow d(S)=4 \cdot 2=8;
  • p12⋅p21⇒d(S)=3⋅2=6;p_1^2 \cdot p_2^1 \Rightarrow d(S)=3 \cdot 2=6;

Așadar

  • Pentru a+b+c=11a+b+c = 11 avem N=112⋅1011⇒dmin(N)=3⋅2=6;N=11^2 \cdot 101^1 \Rightarrow \boxed{d_{min}(N)=3\cdot 2 = 6};
  • Pentru a+b+c=23⋅3a+b+c= 2^3 \cdot 3 avem N=23⋅31⋅111⋅1011⇒dmax(N)=4⋅2⋅2⋅2=32;N=2^3 \cdot 3^1 \cdot 11^1 \cdot 101^1 \Rightarrow \boxed{d_{max}(N)=4 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32};

Problema 2. Determinați numărul natural nn de forma n=3a⋅5b,n=3^a \cdot 5^b, unde a,b∈N,a,b \in \N, știind că numărul 3n3n are cu patru divizori mai mulți decât numărul n,n, iar numărul 5n5n are cu cinci divizori mai mulți decât n.n.

Iuliana Trașcă, Olimpiadă, etapa locală, Olt, 2020, E.533
Soluție:
n=3a⋅5b⇒{3n=3a+1⋅5b5n=3a⋅5b+1 n=3^a \cdot 5^b \Rightarrow \begin{cases} 3n=3^{a+1} \cdot 5^b \\ 5n=3^a \cdot 5^{b+1} \end{cases}
(a+2)(b+1)=4+(a+1)(b+1)(a+1)(b+2)=5+(a+1)(b+1)}⇒a=4,b=3⇒n=34⋅53. \begin{rcases} (a+2)(b+1)=4+(a+1)(b+1) \\ (a+1)(b+2)=5+(a+1)(b+1) \end{rcases} \Rightarrow \boxed{a=4,b=3} \Rightarrow \boxed{n=3^4 \cdot 5^3}.

Problema 3. Se consideră numărul A=112017+222017+332017+…+201620162017.A=1\dfrac{1}{2017} + 2 \dfrac{2}{2017}+ 3 \dfrac{3}{2017} + \ldots + 2016\dfrac{2016}{2017}. Aflați numărul divizorilor naturali ai numărului A.A.

Olimpiadă, etapa locală, Alba, 2017, E.531
Soluție:

După calcule, A=1008⋅2018=(24⋅32⋅7)⋅(2⋅1009)=25⋅32⋅7⋅1009.A=1008 \cdot 2018 =(2^4 \cdot 3^2 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 1009) = 2^5 \cdot 3^2 \cdot 7 \cdot 1009.
Deci AA are 6⋅3⋅2⋅2=726 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2=72 divizori.

Problema 4. Determinați numărul natural nn care are exact 33 divizori și suma divizorilor este 553.553.

Vasile Șerdean, Olimpiadă, etapa locală, Cluj, 2018, E.530
Soluție:

Cum 33 este un număr prim ⇒n=p2,\Rightarrow n=p^2, cu p număr prim.
Dn={1,p,p2}⇒1+p+p2=553.D_n = \{1, p, p^2\} \Rightarrow 1+p+p^2=553.
p(p+1)=552⇒p=23⇒n=232,p(p+1)=552 \Rightarrow \boxed{p=23} \Rightarrow n=23^2, deci n=529.\boxed{n=529}.

Problema 5. Aflați cel mai mic număr natural nn care are exact 3636 divizori naturali, unul dintre aceștia fiind 1008.1008.

Concurs "Isoscel, Caracal, 2016; Concurs "Teodor Topan", Șimleu Silvaniei, 2016, E.525
Soluție:

1008=24⋅32⋅71008 = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 7

Numerele care au 3636 divizori sunt de forma:

  • p135p_1^{35}
  • p117⋅p21,p111⋅p22,p18⋅p23,p15⋅p25p_1^{17} \cdot p_2^1,\quad p_1^{11} \cdot p_2^2,\quad p_1^8 \cdot p_2^3,\quad p_1^5 \cdot p_2^5
  • p18⋅p21⋅p31,p15⋅p22⋅p31,p13⋅p22⋅p32p_1^8 \cdot p_2^1 \cdot p_3^1,\quad p_1^5 \cdot p_2^2 \cdot p_3^1, \quad p_1^3 \cdot p_2^2 \cdot p_3^2
  • p12⋅p22⋅p31⋅p41p_1^2 \cdot p_2^2 \cdot p_3^1 \cdot p_4^1

Dintre acestea, numere divizivile cu 20182018 pot fi doar cele de pe ultimele două rânduri. Numărul minim se obține pentru p1=2, p2=3p_1=2, ~p_2=3 și p3=7,p_3=7, iar acesta va fi p15⋅p22⋅p31=25⋅32⋅71=2016.p_1^5 \cdot p_2^2 \cdot p_3^1=2^5 \cdot 3^2 \cdot 7^1 = 2016.

Metoda 2 Cum 10081008 este unul dintre divizori, înseamnă că descompunerea lui nn va conține factorii 24,32,71,2^4, 3^2, 7^1, care au 5⋅3⋅2=305 \cdot 3 \cdot 2 = 30 divizori. Descompunerea lui nn nu poate conține puterea unui alt număr prim fiindcă în acest caz nn ar avea minim 5⋅3⋅2⋅2=605 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 = 60 divizori. Prin urmare, singura soluție de a ajunge de la 3030 la 3636 divizori este să creștem una din puteri. Cum nn trebuie să fie cât mai mic, vom începe cu creșterea puterilor lui 2.2.
Pentruu n=25⋅32⋅7n=2^5 \cdot 3^2 \cdot 7 obținem 6⋅3⋅2=366 \cdot 3 \cdot 2 = 36 divizori ⇒n=25⋅32⋅7=2016.\Rightarrow n=2^5 \cdot 3^2 \cdot 7 = 2016.

Problema 6. Fie numărul n=11+2+11+2+3+…+11+2+3+…+2018.n=\dfrac{1}{1+2} +\dfrac{1}{1+2+3} + \ldots + \dfrac{1}{1+2+3 + \ldots + 2018}. Determinați cel mai mic număr natural mm pentru care numărul natural m⋅nm \cdot n are exact 33 divizori.

Olimpiadă, etapa locală, Maramureș, 2018, E.528
GM 9/2017
Soluție:

După calcule n=20172019.\boxed{n=\dfrac{2017}{2019}}.
m⋅n∈N⇒m=2019⋅k⇒m⋅n=2017⋅k.m \cdot n \in \N \Rightarrow \boxed{m=2019 \cdot k} \Rightarrow m \cdot n = 2017 \cdot k.
Cum 20172017 este număr prim și m⋅nm \cdot n are 33 divizori ⇒m⋅n=20172⇒k=2017⇒m=2019⋅2017.\Rightarrow m \cdot n = 2017^2 \Rightarrow \boxed{k = 2017} \Rightarrow\boxed{m=2019 \cdot 2017}.