Numărul și suma cifrelor pentru un număr natural

Tema 8

Lucian Maran, MateMaraton, 18-11-2024

Problema 1. Se consideră numărul n=102018+102017−1.n=10^{2018} + 10^{2017}-1.
a) Determinați numărul cifrelor lui n.n.
b) Determinați suma cifrelor lui n.n.

Olimpiadă, etapa locală, Teleorman, 2018, E.477
Soluție:

a)

1100…00⏞2017 de 0 −110999…9⏟2017 de 9 \def\arraystretch{1.2} \begin{array}{c} \begin{aligned} 11\overbrace{00 \ldots 00}^{\text{2017 de 0}}& \space - \\ 1& \\ \hline 10\underbrace{999 \ldots 9}_{\text{2017 de 9}}& \end{aligned} \\ \end{array}
Deci nn are 2+2017=20192+2017 =2019 cifre.

b) Suma cifrelor este 1+0+2017⋅9=18154.1+0+2017 \cdot 9 = 18154.

Problema 2. Câte cifre are numărul A=22018⋅51938?A=2^{2018} \cdot 5^{1938}?

Iuliana Trașcă, Olimpiadă, etapa locală, Olt, 2018, E.478
Soluție:

22018⋅51938=101938⋅280.2^{2018} \cdot 5^{1938} = 10^{1938} \cdot 2^{80}.
Vom încerca să-l încadrăm pe 2802^{80} între două puteri succesive ale lui 10.10. Arătăm că 1024≤280<1025.10^{24} \leq 2^{80} < 10^{25}.

Demonstrăm prima inegalitate: 224⋅524≤280.2^{24} \cdot 5^{24} \leq 2^{80}.
524≤256.5^{24} \leq 2^{56}.
(53)8≤(27)8(5^3)^8 \leq (2^7)^8
125≤127125 \leq 127 (adevărat).

Demonstrăm a doua inegalitate: 280<225⋅525.2^{80}<2^{25} \cdot 5^{25}.
255<5252^{55}< 5^{25}
(211)5<(55)5(2^{11})^5 < (5^5)^5
2048<31252048 < 3125 (adevărat).

Așadar, 1024≤280<1025.10^{24} \leq 2^{80} < 10^{25}.
101938⋅1024≤101938⋅280<101938⋅102510^{1938} \cdot 10^{24} \leq 10^{1938} \cdot 2^{80} < 10^{1938} \cdot 10^{25}
101962≤22018⋅51938<10196310^{1962} \leq 2^{2018} \cdot 5^{1938} < 10^{1963}
Deci 22018⋅519382^{2018} \cdot 5^{1938} are 19631963 cifre.

Problema 3. Determinați suma cifrelor numărului A=313⋅8313⋅5940−131.A=313 \cdot 8^{313} \cdot 5^{940}-131.

Art, Matematică pentru excelență, 1/32, E.479
Soluție:

A=313⋅5⋅2939⋅5939−131=A=313 \cdot 5 \cdot 2^{939} \cdot 5^{939}-131=
=1565⋅10939−131==1565 \cdot 10^{939}-131=
=156499…9⏟936 de 9869,=1564\underbrace{99 \ldots 9}_{\text{936 de 9}}869, deci suma cifrelor lui AA este 1+5+6+4+9369⋅9+8+6+9=8463.1+5+6+4+9 369 \cdot 9 +8+6+9 = 8463.

Problema 4. Fie xx cel mai mic număr natural care are suma cifrelor 2005.2005. Determinați numărul natural nn pentru care numărul 10n+225−x10^{n+225}-x are suma cifrelor egală cu 228.228.

Olimpiadă, etapa locală, Iași, 2005, E.480
Art, Matematică pentru excelență, 6/33
Soluție:

Pentru ca xx să fie cât mai mic, trebuie să aibă cât mai puține cifre, deci cât mai mulți de 9.9.
2005:9=222,2005:9 =222, rest 7,7, deci x=799…9⏟222 de 9\boxed{x=7\underbrace{99 \ldots 9}_{\text{222 de 9}}}.

1 00…0⏞n de 0 000 00…00⏞222 de 0 −7 99…99⏟222 de 999…9⏟n de9 992 00…0⏟222 de 01 \def\arraystretch{1.2} \begin{array}{c} \begin{aligned} 1~\overbrace{00 \ldots 0}^{\text{n de 0}} ~ 000 ~\overbrace{00 \ldots 00}^{\text{222 de 0}}& \space - \\ 7~\underbrace{99 \ldots 99}_{\text{222 de 9}}& \\ \hline \underbrace{99 \ldots 9}_{\text{n de9}}~992~\underbrace{00 \ldots 0}_{\text{222 de 0}}1& \end{aligned} \\ \end{array}

Cum suma cifrelor trebuie să fie 228,228, putem scrie:
n⋅9+18+2+1=228⇒n=23.n \cdot 9 + 18 +2 +1 =228 \Rightarrow \boxed{n=23}.

Problema 5. Determinați numerele naturale de 33 cifre distincte care se împart la 55 și au suma cifrelor exact 17.17.

Elisabeta Nichita, Olimpiadă, etapa locală, Sălaj, 2020, E.481
Soluție:

Dacă numărul nostru este abc‾,\overline{abc}, atunci cc poate fi doar 00 sau 5.5.

  • Pentru c=0,\boxed{c=0}, avem a+b=17⇒abc‾={890‾,980‾}.a+b=17 \Rightarrow \overline{abc}=\{\overline{890}, \overline{980} \}.
  • Pentru c=5,\boxed{c=5}, avem a+b=12⇒abc‾={395‾,485‾,845‾,935‾}.a+b=12 \Rightarrow \overline{abc}=\{\overline{395}, \overline{485}, \overline{845}, \overline{935} \}.

Problema 6. a) Arătați că 250>1015.2^{50}>10^{15}.
b) Determinați câte cifre are numărul 250.2^{50}.

Olimpiadă, etapa locală, Constanța, 2020, E.482
Soluție:

a) (210)5>(103)5.(2^{10})^5 > (10^3)^5.
10245>100051024^5 > 1000^5 (adevărat).

b) Vom încerca să-l încadrăm pe 2502^{50} între două puteri succesive ale lui 10.10. Arătăm că 1015<250<1016.10^{15} < 2^{50} < 10^{16}.
Prima inegalitate a fost demonstrată la punctul a. Mai rămâne să arătăm că 250<1016.2^{50} < 10^{16}.
(225)2<(108)2.(2^{25})^2 < (10^8)^2.
225<28⋅58.2^{25} < 2^8 \cdot 5^8.
217<58,2^{17} < 5^8, relație adevărată pentru că 217<218=(29)2=5122<6252=(54)2=58.2^{17} < 2^{18} = (2^9)^2=512^2<625^2 = (5^4)^2 = 5^8.

Cum 1015<250<1016,10^{15} < 2^{50} < 10^{16}, rezultă că 2502^{50} are 1616 cifre.