Adunarea și scăderea numerelor naturale

Clasa a 4-a, Tema 2

Lucian Maran, 01-11-2024

Problema 1. Dacă 5a+4b=955a+4b=95 și 2a+3b=45,2a+3b=45, calculați 11a+13b.11a+13b.

Admite Loga, 2017, E.408
Soluție:

11a+13b=(5a+4b)+3⋅(2a+3b)=95+3⋅45=230.11a+13b = (5a+4b) + 3 \cdot (2a+3b) = 95 + 3 \cdot 45 = 230.

Problema 2. Calculați diferenţa dintre cel mai mic număr de patru cifre distincte şi cel mai mare număr par de 3 cifre:

Admite Loga, 2019, E.401
Soluție:
  • Cel mai mic număr de patru cifre distincte este 1023.1023.
  • Cel mai mare număr par de 3 cifre este 998.998.

Răspuns: 1023−998=25.1023 - 998 = 25.

Problema 3. Calculați suma dintre aa și bb, unde aa este cel mai mic număr impar de 44 cifre și bb este cel mai mare număr par de 33 cifre distincte, știind că numerele aa şi bb nu conțin cifrele: 0,1,80, 1, 8 și 9.9.

Admite Loga, 2018, E.404
Soluție:

Cel mai mic număr impar de 44 cifre este 1001.1001. Cum nu putem folosi cifrele 00 și 11 obținem a=2223;\boxed{a=2223};
Cel mai mare număr par de 33 cifre distincte este 986.986. Cum nu putem folosi cifrele 88 și 99 obținem b=764.\boxed{b=764}.

a+b=2223+764=2987.a+b = 2223 + 764 = 2987.

Problema 4. Suma a 33 numere pare consecutive este 600.600. Care este diferența dintre numărul cel mare și numărul cel mic?

Admite Loga, 2014, E.411
Soluție:

Șirul dat este format din numerele: a,a+2a, a+2 și a+4,a+4, unde a este un număr par.
Din a+a+2+a+4=600a+ a+2 + a+4 = 600 obținem 3⋅a=594,3 \cdot a = 594, adică a=198.a=198. Deci numerele noastre sunt 198198, 200200 și 202,202, iar diferența cerută este 202−198=4.202-198=4.

Observație: Nu era nevoie să aflăm numerele. Diferența cerută este (a+4)−a=4(a+4)-a=4 și nu depinde de suma numerelor.

Problema 5. Gigel calculează suma numerelor naturale mai mici decât 21. Din greșeală adună un număr de două ori și obține 219. Care este numărul adunat de două ori?

Admite Loga, 2023, E.396
Soluție:

1+2+3+…+21=(20⋅21):2=210.1+2+3+ \ldots + 21 = (20 \cdot 21): 2 = 210.
Numărul căutat este chiar diferența de la 210210 la 219,219, adică 9.9.

Problema 6. Ştiind că 2a+3b−c=112a + 3b − c = 11 şi 3a+b+2c=27,3a + b + 2c = 27, să se calculeze 4a−b+5c.4a − b + 5c.

Admite Loga, 2019, E.400
Soluție:

4a−b+5c=2(3a+b+2c)−(2a+3b−c=11)=2⋅27−11=43.4a − b + 5c = 2(3a + b + 2c) - (2a + 3b − c = 11) = 2 \cdot 27 - 11 = 43.

Problema 7. Un șir are 20172017 termeni, numere naturale consecutive. Termenul din mijlocul șirului este 2018. Care sunt primul și ultimul termen al șirului?

Admite Loga, 2017, E.407
Soluție:

Șirul nostru este a,a+1,a+2,…,a+2016.a, a+1, a+2, \ldots, a+2016.
Dacă șirul are 20172017 termeni, atunci în mjloc vom avea termenul (2017+1):2=1009,(2017+1):2=1009, iar termenului 10091009 îi corespunde valoare a+1008.a+1008.

a+1008=2018⇒a=1010.a+1008 = 2018 \Rightarrow \boxed{a=1010}.
Deci primul termen este 1010,1010, iar ultimul este 1010+2016=3026.1010 +2016 = 3026.