Tema4: Puncte, drepte, plane

Problema 1. Trapezul $ABCD$ are latura neparalelă $AD$ inclusă în planul $\alpha.$ Dreapta $CB$ intersectează planul $\alpha$ în punctul $E.$ Arătați că punctele $E,A,D$ sunt coliniare.

Art, 32/102, ***, E.329

Problema 2. Fie punctele $A,~B,~C$ astfel încât $AB=2$ cm, $BC=3$ cm și $AC=|x-2|$ cm. Aflați valorile lui $x \in \R$ pentru care punctele $A,~B,~C$ nu determină un plan.

Art, 31/102, ***, E.328

Indicații: Se pune condiția ca $A,~B,~C$ să fie coliniare.

Răspuns: $x \in \{ -3, 1, 3, 7\}.$

Problema 3. Fie punctele necoplanare $A,B,C,D$ și $M\in [AB],~ N \in [CD].$ Aflați intersecția planelor $(NAB)$ și $(MDC).$

Art, 33/102, ***, E.330

Indicații: Se determină două puncte comune planelor $(NAB)$ și $(MDC)$ .

Problema 4. Fie punctele $A,B,C,D,E,F$ unde $E$ este mijlocul segmentului $AD$ și $F$ este mijlocul segmentului $BC.$ Dacă $EF=\dfrac{AB+CD}{2},$ arătați că punctele $A,B,C,D$ sunt coplanare.

Art, 38/103, ****, E.331

Indicația 1: Se arată că $AB \parallel CD.$

Indicația 2: $EO$ și $OF$ sunt linii mijlocii, unde $O$ este mijlocul lui $AC.$

Indicația 3: Se arată că $E,O,F$ sunt coliniare.

Problema 5. Fie pătratele $ABCD$ și $CDEF$ situate în plane diferite.
a) Determinați dreapta de intersecția a planelor $(ACE)$ și $(BDF).$
b) Arătați că triunghiurile $ADE$ și $BCF$ sunt congruente.

Art, 39/103, ****, E.332

Indicația 1: a) Ambele plane trec prin centrele celor două pătrate.

Indicația 2: b) Se demonstrează că $ABFE$ este paralelogram.

Puncte, drepte, plane

Tema 4