Prin împărțirea la $11$ putem obține resturile $0,1,2,3, \ldots ,10.$
$S= (1+10) + (2+9) + (3+8) + (4+7) + (5+6) = 11 \cdot 5 = 55.$

OBS: Suma putea fi calculată și cu formula lui Gauss:
$S = 1+2+3+ \ldots + 10 = (10 \cdot 11):2 = 55.$

Numerele apar din $6$ în $6$ și încep cu $1,$ deci sunt de forma $6 \cdot k+1,$ cu $k=0,1,2,3, \ldots.$

• $1 = 6 \cdot 0 + 1$ (termenul 1);
• $7 = 6 \cdot 1 + 1$ (termenul 2);
• $13 = 6 \cdot 2 + 1$ (termenul 3);
  ...

Observăm că valoarea lui $k$ este cu $1$ mai mică decât poziția termenului în șir.
Așadar, termenului de pe poziția $100$ îi corespunde $k=99,$ deci numărul căutat va fi $6 \cdot 99 + 1 = 595.$

Împărțind egalitatea dată la $5$ obținem $a+b+c=8.$ Ținând cont că $0<a<b<c$, obținem:

• $a=1, b=2, c=5 \Rightarrow \overline{abc}=125$;
• $a=1, b=3, c=4 \Rightarrow \overline{abc}=134.$

Deci suma cerută este $259.$

Avem un singur număr de două cifre: $22.$ Numerele de 3 cifre pot fi de forma:

• $22x$, unde $x=0,1,3,4 \ldots 9$ (9 numere);
• $2x2$, unde $x=0,1,3,4 \ldots 9$ (9 numere);
• $x22$, unde $x=1,3,4 \ldots 9$ (8 numere);

În total avem $1+9+9+8=27$ numere.

Calculăm câte garduri ar putea să repare fiecare în 6h:

• Ionel, $6:2=3$ garduri;
• Vasile, $6:3=2$ garduri;
• Gigel, $1$ gard.

Deci, dacă lucrează împreună, cei trei ar putea să repare $3+2+1=6$ garduri în $6$ ore. Adică un gard în $1$h.

$x+3=6 \Rightarrow x=3$;
$y+3=12 \Rightarrow y = 9.$

În total, trenul are $x+3+y = 15$ vagoane.