Operații cu mulțimi

Tema 2

Lucian Maran, 15-09-2024

Problema 1. Determinați mulțimile AA și BB care îndeplinesc condițiile:

  1. A∪B={1,2,3,4,5,6}A \cup B = \{1,2,3,4,5,6\};
  2. A∩B={2,3}A \cap B = \{2,3\};
  3. mulțimea BB are cel puțin 44 elemente;
  4. suma elementelor mulțimii AA este un număr prim.
Olimpiadă, etapa locală, Caraș-Severin, 2020, E.129
Soluție:

Caz 1: BB are 4 elemente:

B-A A-B Sum(A)
1, 4 5, 6 16
1, 5 4, 6 15
1, 6 4, 5 14
4, 5 1, 6 12
4, 6 1, 5 11 (prim)
5, 6 1, 4 10

Caz 2: BB are 5 elemente:

B-A A-B Sum(A)
1, 4, 5 6 11 (prim)
1, 4, 6 5 10
1, 5, 6 4 9
4, 5, 6 1 6

Caz 3: BB are 6 elemente:

B-A A-B Sum(A)
1, 4, 5, 6 ∅ 5 (prim)

Așadar, problema are 33 soluții:

  • B={2,3,4,6}, A={1,2,3,5};B=\{2,3,4,6\},~A=\{1,2,3,5\};
  • B={1,2,3,4,5}, A={2,3,6};B=\{1,2,3,4,5\},~A=\{2,3,6\};
  • B={1,2,3,4,5,6}, A={2,3}.B=\{1,2,3,4,5,6\},~A=\{2,3\}.

Problema 2. Arătați că mulțimile A={6n+1, 6n+2, 5n+3, 5n+7 ∣ n∈N∗}A=\{6^n+1,~6^n+2,~5n+3,~5n+7 ~ | ~ n \in \N^*\} și B={k2 ∣ k∈N}B=\{ k^2 ~|~ k\in \N\} sunt disjuncte.

Olimpiadă, etapa locală, Vrancea, 2020, E.130
Soluție:
  • Uc(6n+1)∈{2, 7};U_c(6^n+1) \in \{2,~7\};
  • Uc(6n+2)∈{3, 8};U_c(6^n+2) \in \{3,~8\};
  • Uc(5n+3)∈{3, 8};U_c(5n+3) \in \{3,~8\};
  • Uc(5n+7)∈{2, 7}.U_c(5n+7) \in \{2,~7\}.

Cum niciunul dintre elementele mulțimii AA nu este pătrat perfect, rezultă că AA și BB nu au elemente comune (sunt disjuncte).

Problema 3. Considerăm mulțimile XX și YY. Care este cea mai mică sumă a elementelor mulțimii XX, dacă sunt satisfăcute următoarele condiții:

  • X∩Y=ϕX \cap Y = \phi;
  • X∪Y={8,9,10,11,12,13,14}X \cup Y = \{8,9,10,11,12,13,14\};
  • dacă a+1∈Xa+1 \in X, atunci a∈Ya \in Y;
  • card X≥3card~X \geq 3.
Olimpiadă, etapa locală, Dolj, 2020, E.132
Soluție:

Singura situație care convine este X={9,11,13}X=\{9,11,13\} și Y={8,10,12,14},Y=\{8,10,12,14\}, deci Suma(X)=33.\boxed{Suma(X)=33}.

Problema 4. Se dau mulțimile A={x ∣ x=24n+3+5n−1, n∈N}A=\{x~ | ~ x=2^{4n+3}+5^n-1,~ n\in \N \} și B={y ∣ y=4m, m∈N}B=\{y ~ | ~ y=4^m,~ m\in \N \}. Arătați că A∩B=ϕA \cap B = \phi.

Olimpiadă, etapa locală, Buzău, 2020, E.133
Soluție:

Uc(A)∈{2,8}U_c(A) \in \{2,8\} și Uc(B)∈{0,4,6}U_c(B) \in \{0,4,6\}, deci mulțimile AA și BB nu au elemente comune.

Problema 5. Se consideră mulțimile A={12,22,32,…,20182}A=\{1^2, 2^2, 3^2, \ldots , 2018^2\} și B={13,23,33,…,20183}.B=\{1^3, 2^3, 3^3, \ldots , 2018^3\}. Determinați card(A∩B)card (A \cap B);

Olimpiadă, etapa locală, Timiș și Sibiu, 2019, E.269
Soluție:

Se observă că mulțimea A∩BA \cap B este formată din elemente care sunt atât pătrate perfecte, cât și cuburi perfecte. Deci A∩B={x6 ∣ x6≤20182}.A \cap B=\{x^6 ~|~ x^6 \leq 2018^2 \}.
Din x6≤20182x^6 \leq 2018^2 rezultă x3≤2018.x^3 \leq 2018.
Prin încercări obținem 123=172812^3=1728 și 133=2197.13^3=2197. Prin urmare, valoarea maximă a lui xx este 1212.
Așadar, A∩B={16,26,…,126},A \cap B = \{1^6, 2^6, \ldots , 12^6 \}, deci card(A∩B)=12.\boxed{card(A \cap B)=12}.

Problema 6. Fie a, b∈Na,~b \in \N și mulțimile A={3a+3, 7}A=\{3a+3, ~7\} și B={3a+1, b+3}.B=\{3a+1, ~b+3\}. Determinați aa și bb ∈N,\in \N, astfel încât A∪BA \cup B să aibă două elemente.

Violeta-Eva Markus, Olimpiadă, etapa locală, Sălaj, 2020, E.270
MM, 15.12.2021
Soluție:

Din ipoteză, mulțimile AA și BB au fiecare câte două elemente. Deci card(A∪B)=2card (A \cup B)=2 implică A=B.A=B.

Cum 3a+3≠3a+1,3a+3 \not= 3a+1, mai rămâne doar posibilitatea
3a+3=b+33a+3=b+3 și 7=3a+1.7=3a+1. De aici obținem a=2,\boxed{a=2}, apoi b=6.\boxed{b=6}.