Operații cu mulțimi

Tema 2

Lucian Maran, 15-09-2024

Problema 1. Determinați mulțimile AA și BB care îndeplinesc condițiile:

  1. A∪B={1,2,3,4,5,6}A \cup B = \{1,2,3,4,5,6\};
  2. A∩B={2,3}A \cap B = \{2,3\};
  3. mulțimea BB are cel puțin 44 elemente;
  4. suma elementelor mulțimii AA este un număr prim.
Olimpiadă, etapa locală, Caraș-Severin, 2020, E.129
Soluție:

Caz 1: BB are 4 elemente:

B-A A-B Sum(A)
1, 4 5, 6 16
1, 5 4, 6 15
1, 6 4, 5 14
4, 5 1, 6 12
4, 6 1, 5 11 (prim)
5, 6 1, 4 10

Caz 2: BB are 5 elemente:

B-A A-B Sum(A)
1, 4, 5 6 11 (prim)
1, 4, 6 5 10
1, 5, 6 4 9
4, 5, 6 1 6

Caz 3: BB are 6 elemente:

B-A A-B Sum(A)
1, 4, 5, 6 ∅ 5 (prim)

Așadar, problema are 33 soluții:

  • B={2,3,4,6}, A={1,2,3,5};B=\{2,3,4,6\},~A=\{1,2,3,5\};
  • B={1,2,3,4,5}, A={2,3,6};B=\{1,2,3,4,5\},~A=\{2,3,6\};
  • B={1,2,3,4,5,6}, A={2,3}.B=\{1,2,3,4,5,6\},~A=\{2,3\}.

Problema 2. Considerăm mulțimile XX și YY. Care este cea mai mică sumă a elementelor mulțimii XX, dacă sunt satisfăcute următoarele condiții:

  • X∩Y=ϕX \cap Y = \phi;
  • X∪Y={8,9,10,11,12,13,14}X \cup Y = \{8,9,10,11,12,13,14\};
  • dacă a+1∈Xa+1 \in X, atunci a∈Ya \in Y;
  • card X≥3card~X \geq 3.
Olimpiadă, etapa locală, Dolj, 2020, E.132
Soluție:

Singura situație care convine este X={9,11,13}X=\{9,11,13\} și Y={8,10,12,14},Y=\{8,10,12,14\}, deci Suma(X)=33.\boxed{Suma(X)=33}.

Problema 3. Se consideră mulțimile A={12,22,32,…,20182}A=\{1^2, 2^2, 3^2, \ldots , 2018^2\} și B={13,23,33,…,20183}.B=\{1^3, 2^3, 3^3, \ldots , 2018^3\}. Determinați card(A∩B)card (A \cap B);

Olimpiadă, etapa locală, Timiș și Sibiu, 2019, E.269
Soluție:

Se observă că mulțimea A∩BA \cap B este formată din elemente care sunt atât pătrate perfecte, cât și cuburi perfecte. Deci A∩B={x6 ∣ x6≤20182}.A \cap B=\{x^6 ~|~ x^6 \leq 2018^2 \}.
Din x6≤20182x^6 \leq 2018^2 rezultă x3≤2018.x^3 \leq 2018.
Prin încercări obținem 123=172812^3=1728 și 133=2197.13^3=2197. Prin urmare, valoarea maximă a lui xx este 1212.
Așadar, A∩B={16,26,…,126},A \cap B = \{1^6, 2^6, \ldots , 12^6 \}, deci card(A∩B)=12.\boxed{card(A \cap B)=12}.

Problema 4. Arătați că mulțimile A={6n+1, 6n+2, 5n+3, 5n+7 ∣ n∈N∗}A=\{6^n+1,~6^n+2,~5n+3,~5n+7 ~ | ~ n \in \N^*\} și B={k2 ∣ k∈N}B=\{ k^2 ~|~ k\in \N\} sunt disjuncte.

Olimpiadă, etapa locală, Vrancea, 2020, E.130
Soluție:
  • Uc(6n+1)∈{2, 7};U_c(6^n+1) \in \{2,~7\};
  • Uc(6n+2)∈{3, 8};U_c(6^n+2) \in \{3,~8\};
  • Uc(5n+3)∈{3, 8};U_c(5n+3) \in \{3,~8\};
  • Uc(5n+7)∈{2, 7}.U_c(5n+7) \in \{2,~7\}.

Cum niciunul dintre elementele mulțimii AA nu este pătrat perfect, rezultă că AA și BB nu au elemente comune (sunt disjuncte).

Problema 5. Se dau mulțimile A={x ∣ x=24n+3+5n−1, n∈N}A=\{x~ | ~ x=2^{4n+3}+5^n-1,~ n\in \N \} și B={y ∣ y=4m, m∈N}B=\{y ~ | ~ y=4^m,~ m\in \N \}. Arătați că A∩B=ϕA \cap B = \phi.

Olimpiadă, etapa locală, Buzău, 2020, E.133
Soluție:

Uc(A)∈{2,8}U_c(A) \in \{2,8\} și Uc(B)∈{0,4,6}U_c(B) \in \{0,4,6\}, deci mulțimile AA și BB nu au elemente comune.

Problema 6. Fie a, b∈Na,~b \in \N și mulțimile A={3a+3, 7}A=\{3a+3, ~7\} și B={3a+1, b+3}.B=\{3a+1, ~b+3\}. Determinați aa și bb ∈N,\in \N, astfel încât A∪BA \cup B să aibă două elemente.

Violeta-Eva Markus, Olimpiadă, etapa locală, Sălaj, 2020, E.270
MM, 15.12.2021
Soluție:

Din ipoteză, mulțimile AA și BB au fiecare câte două elemente. Deci card(A∪B)=2card (A \cup B)=2 implică A=B.A=B.

Cum 3a+3≠3a+1,3a+3 \not= 3a+1, mai rămâne doar posibilitatea
3a+3=b+33a+3=b+3 și 7=3a+1.7=3a+1. De aici obținem a=2,\boxed{a=2}, apoi b=6.\boxed{b=6}.