Probleme care se rezolvă cu ajutorul sistemelor de ecuaţii

Temă individuală

Lucian Maran, matemaraton.ro, 03-02-2024

Problema 1. Dacă într-o sală de clasă se așează câte un elev într-o bancă, rămân 66 elevi în picioare. Dacă se așează câte doi elevi într-o bancă, iar într-o singură bancă stă un elev, atunci rămân 4 bănci libere. Aflați câte bănci și câți elevi sunt.

Culegere EN 2019, Paralela 45 (3/111), E.193
Soluție:

Notăm cu bb numărul de bănci și cu ee numărul de elevi. Ecuațiile pentru cele două scenarii sunt:

{e=b⋅1+6e=(b−5)⋅2+1 \begin{cases} e = b \cdot 1 + 6\\ e=(b-5) \cdot 2 + 1 \end{cases}
Deci b+6=2b−10+1⇒b=15.b+6 = 2b-10+1 \Rightarrow \boxed{b=15}.
Înlocuind pe bb în prima ecuație obținem e=21.\boxed{e=21}.

Problema 2. Într-un bloc sunt 1818 apartamente cu 22 sau 33 camere, în total 4242 camere. Câte apartamente cu 22 camere sunt în bloc?

Culegere EN 2019, Paralela 45 (3/98), E.196
Soluție:

Notăm cu xx numărul de apartamente cu 2 camere și cu yy numărul de apartamente cu 3 camere. Ecuațiile pentru numărul de camere, respectiv numărul de apartamente, sunt:

{42=2⋅x+3⋅yx+y=18 \begin{cases} 42 = 2 \cdot x + 3 \cdot y\\ x+y=18 \end{cases}
Folosim metoda substituției. Din a 2-a ecuație avem y=18−x(1).\boxed{y=18-x} \quad(1).
Înlocuind pe yy în prima ecuație obținem 42=2x+3(18−x)42 = 2x + 3(18-x)
42=2x+54−3x⇒x=12.42=2x+54-3x \Rightarrow \boxed{x=12}.
y=18−12,y=18-12, deci y=6.\boxed{y=6}.

Problema 3. Un elev are de rezolvat niște probleme de matematică într-un anumit interval de timp. Dacă ar rezolva câte 44 probleme pe zi, i-ar rămâne 77 probleme nerezolvate, iar dacă ar rezolva câte 66 probleme pe zi, i-ar rămâne o singura problemă nerezolvată. Aflați câte probleme trebuie să rezolve elevul.

Culegere EN 2019, Paralela 45 (2/101), E.194
Soluție:

Notăm cu zz numărul de zile pe care elevul le are la dispoziție și cu pp numărul de probleme pe care le are de rezolvat. Ecuațiile pentru cele două scenarii sunt:

{p=4⋅z+7p=6⋅z+1 \begin{cases} p = 4 \cdot z + 7\\ p= 6 \cdot z + 1 \end{cases}
Deci 4z+7=6z+1⇒z=3.4z+7 = 6z+1 \Rightarrow \boxed{z=3}.
Înlocuind pe zz în prima ecuație obținem p=19.\boxed{p=19}.

Problema 4. Pe un raft sunt tetraedre și cuburi care au, în total, 4444 de vârfuri și 3838 de fețe. Aflați numărul cuburilor de pe raft.

Culegere EN 2019, Paralela 45 (3/90), E.195
Soluție:

Un cub are 66 fețe și 88 vârfuri, iar un tetraedru are 44 fețe și 44 vârfuri. Notăm cu cc numărul de cuburi și cu tt numărul de tetraedre. Scriem ecuațiile pentru vârfuri, respectiv fețe:

{44=c⋅8+t⋅438=c⋅6+t⋅4 \begin{cases} 44 = c \cdot 8 + t \cdot 4\\ 38= c \cdot 6 + t \cdot 4 \end{cases}
Folosind metoda reducerii obținem
44−38=8c−6c⇒c=3.44-38 = 8c-6c \Rightarrow \boxed{c=3}.
Înlocuind pe cc în prima ecuație obținem t=5.\boxed{t=5}.