Tangenta la cerc

Temă individuală

Lucian Maran, matemaraton.ro, 21-01-2024

Problema 1. Din punctul AA, exterior unui cerc de centru OO, se construiesc tangentele ABAB și ACAC (BB, C∈CC \in \cal{C}). Demonstrați că BC⊥AO.BC \perp AO.

Art, 13/126, ** (duplicat E.210)., E.178
Soluție:


ABAB, ACAC tangente ⇒∡ABO=∡ACO=90°.\Rightarrow \measuredangle ABO = \measuredangle ACO = 90\degree.
△ABO≡I.C.△ACO\triangle ABO \overset{I.C.}{\equiv} \triangle ACO (OB≡OC,OB\equiv OC, OAOA - lat. com.) ⇒∡O1≡∡O2.\Rightarrow \boxed{\measuredangle O_1 \equiv \measuredangle O2}.
△DBO≡L.U.L.△DCO\triangle DBO \overset{L.U.L.}{\equiv} \triangle DCO (OB≡OC,OB\equiv OC, ∡O1≡∡O2,\measuredangle O_1 \equiv \measuredangle O2, ODOD - lat. com.) ⇒∡BDO≡∡CDO.\Rightarrow \boxed{\measuredangle BDO \equiv \measuredangle CDO}.

Dar cum ∡BDO+∡CDO=180°⇒∡BDO=90°.\measuredangle BDO + \measuredangle CDO = 180\degree \Rightarrow \boxed{\measuredangle BDO = 90\degree}.

Problema 2. Fie OO centrul comun a două cercuri și ABAB, CDCD două coarde ale cercului mare, tangente cercului mic. Demonstrați că AB=CD.AB=CD.

Art, 21/127, **, E.179
Soluție:


ABAB, CDCD tangente ⇒∡M=∡N=90°.\Rightarrow \measuredangle M = \measuredangle N = 90\degree.

△OMB≡I.C.△OND\triangle OMB \overset{I.C.}{\equiv} \triangle OND (OM≡ON,OM \equiv ON, OB≡ODOB\equiv OD) ⇒∡O1≡∡O2.\Rightarrow \boxed{\measuredangle O_1 \equiv \measuredangle O_2}.
Analog, ∡O3≡∡O4,\measuredangle O_3 \equiv \measuredangle O_4, deci ∡AOB=∡COD.\boxed{\measuredangle AOB = \measuredangle COD}.

△AOB≡△COD\triangle AOB \equiv \triangle COD (L.U.L.) ⇒AB=CD.\Rightarrow \boxed{AB = CD}.

Problema 3. Pe un cerc se iau punctele CC și DD de o parte și de alta a diametrului AB.AB. Drepta BDBD interseactează tangenta în AA la cerc în punctul E.E. Arătați că ∡BCD≡∡AEB.\measuredangle BCD \equiv \measuredangle AEB.

Art, 22/127, ***, E.180
Soluție:

ABAB diametru ⇒ACB⏠=ADB⏠\Rightarrow \overgroup{ACB} = \overgroup{ADB}
AEBAEB unghi exterior ⇒∡AEB=ACB⏠−AD⏠2=ADB⏠−AD⏠2=BD⏠2.\Rightarrow \measuredangle AEB = \dfrac{\overgroup{ACB} - \overgroup{AD}}{2} = \dfrac{\overgroup{ADB} - \overgroup{AD}}{2} = \dfrac{\overgroup{BD}}{2}.
Dar și ∡BCD=BD⏠2.\measuredangle BCD = \dfrac{\overgroup{BD}}{2}. Rezultă ∡BCD≡∡AEB.\boxed{\measuredangle BCD \equiv \measuredangle AEB}.

Problema 4. Pe prelungirea unei coarde ABAB a unui cerc de centru OO se construiește segmentul BCBC, de lungime egală cu raza cercului. Secanta COCO intersectează cercul în punctul EE astfel încât O∈(CE).O \in (CE). Arătați că ∡AOE=3⋅∡ACO.\measuredangle {AOE} = 3 \cdot \measuredangle {ACO}.

Art, 23/127, ***, E.181
Soluție:


Din BO=BC⇒O2^=C^.BO=BC \Rightarrow \boxed{\widehat {O_2} = \widehat{C}}.

C^=AE⏠−BD⏠2=O1^−O2^2=O1^−C^2.\widehat{C} = \dfrac{\overgroup {AE} - \overgroup{BD}}{2} = \dfrac{\widehat{O_1} - \widehat{O_2}}{2} = \dfrac{\widehat{O_1} - \widehat{C}}{2}.
Deci 2⋅C^=O1^−C^⇒O1^=3⋅C^.2 \cdot \widehat{C} = \widehat{O_1} - \widehat{C} \Rightarrow \boxed{\widehat{O_1} = 3 \cdot \widehat{C}}.