Soluții-Tema4-cls7: Unghi înscris în cerc

Problema 1. În triunghiul $ABC$ , înălțimile duse din vârfurile $A$ , $B$ , respectiv $C$ , intersectează cercul circumscris triunghiului în punctele $D$ , $E$ , respectiv $F.$ Știind că $\measuredangle B=50\degree$ și $\measuredangle C=70\degree,$ determinați măsurile arcelor mici $\overgroup{AE}$ , $\overgroup{AF}$ și $\overgroup{BD}.$

Art, 14/122, **, E.174

Soluție:

$\widehat{A}=180\degree-(50\degree+70\degree)=60\degree.$
În $\triangle ABK$ , $\widehat{A}=60\degree$ , $\widehat{K}=90\degree$ , rezultă $\widehat{B_2}=30\degree$ , deci $\boxed{\overgroup{AE}=60\degree}$ .

Analog pentru celelalte arce:
În $\triangle ACL$ , $\widehat{A}=60\degree$ , $\widehat{L}=90\degree$ , rezultă $\widehat{C_2}=30\degree$ , deci $\boxed{\overgroup{AF}=60\degree}$ .
În $\triangle BAG$ , $\widehat{B}=50\degree$ , $\widehat{G}=90\degree$ , rezultă $\widehat{A_2}=40\degree$ , deci $\boxed{\overgroup{BD}=80\degree}$ .

Problema 2. Pe cercul $\cal C$ $(O,r)$ se consideră, în această ordine, punctele $A$ , $B$ , $C$ , $D.$ Notăm cu $M$ , $N$ , $P$ , $Q$ mijloacele arcelor $\overgroup{AB}$ , $\overgroup{BC}$ , $\overgroup{CD}$ , $\overgroup{DA}$ . Arătați că $MP \perp NQ.$

Art, 18/122, **, E.175

Soluție:

$\widehat{QEP}=\dfrac{\overgroup{QP}+\overgroup{NM}}{2}= \dfrac{\overgroup{QD}+\overgroup{DP} + \overgroup{NB}+\overgroup{BM}}{2}. \quad (1)$

$\widehat{QEM}=\dfrac{\overgroup{QM}+\overgroup{NP}}{2}= \dfrac{\overgroup{QA}+\overgroup{AM} + \overgroup{NC}+\overgroup{CP}}{2}. \quad (2)$

Cum $M$ , $N$ , $P$ , $Q$ sunt mijloace, avem egalitățile $\overgroup{QD}=\overgroup{QA}$ și celelalte, deci $\boxed{\widehat{QEP}=\widehat{QEM}}.$
Dar $\widehat{QEP} + \widehat{QEM} = 180\degree.$ În concluzie $\boxed{\widehat{QEP}=90\degree}.$

Problema 3. Prin mijlocul $M$ al arcului $\overgroup {AC}$ al cercului circumscris triunghiului $ABC$ se duce o coardă $MN$ paralelă la $AB.$ Arătați că arcele $\overgroup{BNC}$ și $\overgroup{MCN}$ sunt congruente.

Art, 20/122, **, E.176

Soluție:

Cunoaștem că arcele cuprinse între două coarde paralele sunt egale, deci $\overgroup{BN}=\overgroup{AM}.$
Dar, din ipoteză, $\overgroup{AM}=\overgroup{MC},$ deci $\boxed{\overgroup{BN}=\overgroup{MC}}.$
Adunând la relația de mai sus arcul $\overgroup{NC}$ obținem $\boxed{\overgroup{BNC}=\overgroup{MCN}}.$

Problema 4. În cercul $\cal C$ $(C,r)$ se consideră coardele $AB$ și $CD$ concurente în $P.$ Știind că $O \in Int(\measuredangle APC)$ , $\measuredangle APC)=60\degree$ și $\measuredangle AOC)=100\degree$ , determinați măsura arcului $\overgroup{BD}.$

Art, 23/123, ***, E.177

Soluție:

Conform formulei pentru unghiul cu vârful în interiorul unui cerc, $\measuredangle{APC}=\dfrac{\overgroup{AC} + \overgroup{BD}}{2}.$
Cum $\measuredangle{APC}=60\degree$ și $\overgroup{AC} = \measuredangle AOC = 100\degree$ , rezultă $\boxed{\overgroup{BD}=20\degree}.$

Unghi înscris în cerc

Temă individuală